Математические вычисления (86331)

Посмотреть архив целиком

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ

СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА











Контрольная работа

по курсу «Математика»





Выполнил студент В.В.Тюрин









Тула 2010


1. Задача 1


Для заданных двух множеств найти произведения и , изобразить их графически и найти пересечение

,

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:



2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:



3.Определяем пересечение множеств:


{Ø}


4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются

совокупности точек, обозначенные разными символами.


Рис. 1. Прямое A x B и обратного B x A произведения двух точечных множеств


Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.


2. Задача 2


Вычислить предел функции с использованием основных теорем



Решение


3. Задача 3


Раскрытие неопределенности вида и с использованием правила Лопиталя



Решение

Неопределенность




4. Задача 4


Найти производную простой функции

Решение


Итак,


5. Задача 5


Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Решение

1. Находим первую производную заданной функции



2. Определяем критические точки первого рода:


или ,

Отсюда ,


3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке числовой оси:


Таблица 1

-1,2

()

0

()

1

()

2,5

Знак


-

+

-


Величина

32,88



-6


-1


244

Экстремум



m




M


Итак,



В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.


6. Задача 6


Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки

Решение

Выполним подстановку:



Продифференцируем обе части уравнения:


=


7. Задача 7


Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби



Решение

1. Найдем производную знаменателя:



2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем за знак интеграла.



3. Запишем число , как , получим:



4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:



5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:



6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат.



Интеграл принимает табличный вид:



7. Записываем решение:



8. Задача 8


Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям



Решение



9. Задача 9


По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь

А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)

Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):


Рис. 2 Схема треугольника




2 Вычисляем длины сторон:



3. Определяем углы треугольника,


следовательно, =23.3o

следовательно, 25,4о

Угол по формуле .

Следовательно, ,


4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника



следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:




10. Задача 10


Найти для заданной матрицы присоединенную и обратную матрицы



Решение

  1. Вычисляем определитель матрицы



Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

2. Вычисляем для всех элементов матрицы алгебраические дополнения:




3. Записываем присоединенную матрицу:



4. Вычисляем обратную матрицу



5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу


=


Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.


11. Задача 11


Найти произведения и квадратных матриц и



Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

  1. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)



2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)




12. Задача 12


Найти произведение прямоугольных матриц



Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц


,


устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)




13. Задача 13


Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме



Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:



то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:



так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно.



3. Вычисляем остальные определители:



4. Вычисляем значения неизвестных:



Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:


.


1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:


, ,


2. Вычисляем определитель матрицы :



Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:



4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:



5. Вычисляем обратную матрицу :



6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:



Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:


или (1, 2, 1).


3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:




Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:



Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.



Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.



Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:




Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:



Итак, решение системы уравнений имеет вид:


, ,


или в краткой форме: (1,2,1).


14. Задача 14


Определить число элементарных событий и простых соединений

Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение

Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные:



15. Задача 15


Вычислить вероятность события по классической схеме

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.



2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:


Случайные файлы

Файл
162572.rtf
73473.rtf
73787.rtf
93938.rtf
42511.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.