Вычисление случайных величин (86298)

Посмотреть архив целиком

Задача №1.


Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:




где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия


или


следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):



Вычислим плотность составляющей X:

при ,

откуда плотность составляющей X



Вычислим плотность составляющей Y:

при ,

при ,

Поэтому плотность составляющей Y



Найдем условную плотность составляющей X:

при , случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:




Найдем дисперсию случайной величины X:



Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:



Найдем математическое ожидание случайной величины Y:




Найдем дисперсию случайной величины Y:



Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:




Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):



Тогда ковариация: ,

а значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.


Задача №2


Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:


Y

X

3

6

8

9

-0,2

0,035

0,029

0,048

0,049

0,1

0,083

0,107

0,093

0,106

0,3

0,095

0,118

0,129

0,108


Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.


Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X

3

6

8

9

0,213

0,254

0,270

0,263






Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:


Y

-0,2

0,1

0,3

0,161

0,389

0,450







Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:


2.



Математическое ожидание случайной величины Y:



3. Дисперсия случайной величины X:



4. Дисперсия случайной величины Y:



5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:



6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:



Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X)

3-M(X)

6-M(X)

8-M(X)

9-M(X)

0,213

0,254

0,270

0,263



Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y)

-0,2-M(Y)

0,1-M(Y)

0,3-M(Y)

0,161

0,389

0,450


Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)]

1,260873

0,153873

P

0,035

0,083


-0,584127

0,235773

0,028773

-0,109227

-0,447627

0,095

0,029

0,107

0,118

0,048


-0,054627

0,207373

-0,789327

-0,096327

0,365673

0,093

0,129

0,049

0,106

0,108



Найдем ковариацию:



Найдем коэффициент корреляции:



Ответ: -0,028.


Задача №3


Рост, см

(X)

Вес, кг (Y)

22,5-25,5

25,5-28,5

28,5-31,5

31,5-34,5

34,5-37,5

117,5-122,5

1

3

-

-

-

122,5-127,5

-

2

6

1

-

127,5-132,5

-

1

5

5

-

132,5-137,5

-

1

6

7

2

137,5-142,5

-

-

1

4

2

142,5-147,5

-

-

-

1

1

147,5-152,5

-

-

-

-

1


Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

  • написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

  • вычертить их графики и определить угол между ними;

  • по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста X получим:

1. Выборочная средняя



2. Дисперсия выборочная исправленная –



Для веса Y получим:

  1. Выборочная средняя -



  1. Дисперсия выборочная исправленная –




Найдем выборочный коэффициент корреляции:



Найдем значения коэффициентов регрессии:



Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:



Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:




- угол между прямыми регрессии.



Следовательно, связь между X и Y не тесная.



Случайные файлы

Файл
102496.rtf
29407.rtf
1287-1.rtf
71299.rtf
38867.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.