Таблица производных. Дифференцирование сложных функций (86250)

Посмотреть архив целиком












Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций


1. Таблица производных


Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1. .

Найдем производную, когда .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как


, а , то

Отсюда и ,


то есть . Если , результат тот же.

2. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то


.

Отсюда и , то есть .


3. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то


.

Отсюда и , то есть .


4. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:


, то есть .


5. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:


, то есть .


6. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то


.

Отсюда и

,


то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

8. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда


и , то есть .


Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то .

Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть .

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10. .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда


,

то есть .


11. .

Так как


, то . .


В данном случае обратной функцией будет . Для нее


.

Отсюда , то есть .


13. .

Так как


, то .



2. Производная сложной функции


Пусть дана функция и при этом . Тогда исходную функцию можно представить в виде . Функции такого типа называются сложными. Например, .

В выражении аргумент называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть .

Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от перейдет к . Но это, в свою очередь, приведет к изменению , который от перейдет к . Так как согласно условию теоремы функции и имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если , то и , что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю.

Составим . Отсюда,



и, следовательно, .

Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где , а , или , то, соответственно, и так далее.


3. Дифференцирование параметрически заданной функции


Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.

При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.

Пусть даны две функции: где . Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.

Если функция взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти . Подставляя в , получим , то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.

Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение .

В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.

1. Окружность.

Возьмем точку на окружности с радиусом . Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:



Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности .



Рис. 3.1


2. Эллипс.

Известно, что уравнение эллипса – . Отсюда . Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что . Подставим это выражение в : . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид



Рис. 3.2


3. Циклоида.

Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом . Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t, точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:



Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:



Рис. 3.3


4. Астроида.

Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:



Рис. 3.4


Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.

Пусть функция от задана параметрически: где . Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом . Найдем .

Составим отношение . Тогда


.


Следовательно, . Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.


Литература


  1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.

  2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.

  3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.

  4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.



Случайные файлы

Файл
6358-1.rtf
20950-1.rtf
22166-1.rtf
96622.rtf
kursov_magdeb.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.