Сходимость рядов (86249)

Посмотреть архив целиком















КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

ВАРИАНТ 9.3.



Найти область сходимости указанных рядов


9.3.1.

а)



По признаку Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)

.


б)


Отсюда следует, что при ряд сходится, т.е. при . При ряд расходится.

Рассмотрим случай


Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд

При аналогично получим ряд , ряд сходится условно.

Ответ:


9.3.2.

а)

. По признаку Даламбера ряд сходится, если .


Ряд будет сходится при

Первый случай или


В промежутке ряд сходится.

Второй случай



В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим . Рассмотрим концы интервала.

При x=1 получим ряд , т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…

Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).

При получим ряд т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.


б)



Ряд будет сходиться при .


1)



в интервале ряд сходится.


2)


в интервале 3<x<8 ряд сходится.

Общий интервал сходимости –2<x<8.

На концах интервала х=-2, имеем ряд:



расходящийся гармонический ряд.



в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.

Ответ: (-2,8]



9.3.3.

а)



Ряд сходится при условии


1)


Решим неравенство:



корней нет, следовательно: — всегда.



Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: Здесь ряд сходится.

Исследуем концы интервалов:

1) . Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .


2)



б)


.


Ряд сходится при .

1) интервал сходимости .

2) интервал сходимости .

Исследуем границы интервала.


1)



По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд — расходится.


2) .


Сравним с рядом по второму признаку сравнения



расходится, то расходится и ряд .


3.9.4.

а)




Ряд сходится при

1) тогда



корней нет, .

Решаем неравенство:


.


Решаем полученное неравенство:



В промежутке (1,3) ряд сходится.

На концах интервала имеем:

1)



Ряд расходится, т.к. .

2)


б)



Ряд сходится при условии или



Интервал сходимости .

На концах интервала.

1)



ряд расходится, т.к. расходится ряд .

2)


Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.


9.3.5.

а)



Ряд сходится при условии .

1)



2)



Исследуем концы интервала:

1)




2)



б)



Ряд сходится при условии откуда



9.3.6.

а)


Ряд сходится при



и корней нет, следовательно, имеет условие



Интервал сходимости .

Исследуем концы интервалов:

1)



Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница

выполняется



Ряд сходится при



Получим такой же ряд.


б)


Проверяем признак Даламбера:



Условие сходимости

На концах интервала имеем:


1)



Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.

Ряд сходится условно при .

Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.

.


9.3.7.

а)



Проверяем концы интервалов

1)



Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.

При получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).

б)



9.3.8.

а)



Условие сходимости .

Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид



Интервал сходимости .

На концах интервала


Получаем один и тот же ряд


.


Члены этого ряда не меньше членов ряда , следовательно, ряд расходится.

б)



Условие сходимости



На краях интервалов:

1) . Получается ряд:


Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.


2)



9.3.9.

а)



1. Если , т.е. и необходимо решить неравенство: . Получается интервал .

2.



Интервал с учетом .

На концах интервала:

1)



Ряд сходится. Аналогично при .

.

б)



Интервал сходимости определяется неравенством




9.3.10.

а)



Найдем дискриминант числителя




б)


1)



2)




1.



2.



Случайные файлы

Файл
147810.rtf
59686.rtf
59523.rtf
19451-1.rtf
104535.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.