Типовой расчет (86159)

Посмотреть архив целиком

1. Найти сумму ряда:



Решение.

Разложим знаменатель на множители.



Значит,



Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов.



то есть:


, ,


Следовательно,



Тогда, исходный ряд примет вид:



Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:


=

=

=

=

=

=

=

=



Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму.


.


Тогда искомая сумма равна:


.


Ответ: .


2. Найти сумму ряда:



Решение.

Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов.



то есть:


, , ,


Следовательно,



Тогда, исходный ряд примет вид:



Найдём n – первых членов ряда , записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом:


=

=

=

=

=

=

=

=

Сложим n – первых членов ряда



и найдём их сумму.


.


Тогда искомая сумма равна:



Ответ: .

3. Исследовать ряд на сходимость



Решение.

Так как , то рассмотрим ряд


, тогда






Воспользуемся признаком Даламбера.


,


Тогда,


Так как , то ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится по теореме о сравнении рядов.

Ответ: Ряд сходится.


4. Исследовать ряд на сходимость



Решение.

Преобразуем n – член этого ряда.






Сравним ряд с рядом , пользуясь предельным признаком сравнения:


,


Тогда,



Поскольку А = 1 (0 - является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд тоже сходится.

Ответ: ряд сходится.

5. Исследовать ряд на сходимость




Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.


,


Находим m по формуле:



Тогда:


Так как , то ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.


6. Исследовать ряд на сходимость






Решение.

Рассмотрим ряд


.


Поскольку при :



Воспользуемся признаком Даламбера.


,


Находим m по формуле:



Тогда:







Так как , то ряд сходится.

Согласно признаку сравнения сходится и ряд .

Ответ: ряд сходится.

7. Вычислить сумму ряда с точностью α..


α. = 0,001.


Решение.

Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.


- числовой знакочередующейся.


Воспользуемся признаком Лейбница:





1)

2)


Следовательно, ряд условно сходится.

Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд .

Воспользуемся признаком Даламбера:


,


Находим m по формуле:



Тогда:





Следовательно, ряд


сходится абсолютно.


Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:

а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093

Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и . Требуемая точность достигнута.

Следовательно:


.


Ответ: .

8. Найти область сходимости функционального ряда



Решение.

Рассмотрим два интервала:

1)

Проверим необходимый признак сходимости рядов:

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.

2) , то есть

Проверим необходимый признак сходимости рядов:



Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.

При имеем:



то есть ряд расходится.

Окончательно, получаем ряд расходится при любом Х

Ответ:


9. Найти область сходимости функционального ряда




Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера:


.


В данном примере:


,

.


Следовательно, ряд сходится при любом Х, т.е.

Ответ: .

10. Найти сумму ряда:






Решение.

Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:



то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

При ряд расходится, так как .

Следовательно, .

Перепишем данный ряд:




Обозначим сумму трёх рядов через , и соответственно, тогда


.





Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:


1) :


то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

Следовательно, .


2) :


то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

Следовательно, .


3) :


то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .

Следовательно, .

Найдём сумму ряда .



Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: , тогда:


.


Найдём сумму ряда .


.



Обозначим сумму ряда в скобках за и проинтегрируем:


.





Продифференцируем :


.


Отсюда:



сумму ряда .


.


Обозначим сумму ряд в скобках за и проинтегрируем:


.



Тогда, продифференцируем :






Отсюда:


.


Следовательно:


для всех .


Ответ: для всех .


Случайные файлы

Файл
10827.rtf
24762-1.rtf
46505.rtf
19772.rtf
1218.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.