Интеграл дифференциального уравнения (86057)

Посмотреть архив целиком

АНО ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ЕКАТЕРИНЫ ВЕЛИКОЙ»












Контрольное задание

По дисциплине: «Математика»














Москва 2010 г.


Контрольное задание:


Упражнения

1. Дана последовательность аn=(3n-5)/(4n+1). Установить номер n0, начиная с которого выполняется неравенствоаn-А < 1/500.

Отв. n0=719.

Найти:

2. lim (3-√х)/(х2-81).Отв. –1/108.

х→9

3. lim (5х2-8)/(х3-3х2+11).Отв. 0.

х→∞

Проверить непрерывность следующих функций:

4. у=5х/(х3+8).Отв. При всех х≠–2 функция непрерывна.

5. у=(х2+4)/ √(х2-36). Отв. Функция непрерывна при всех значениях

х│>6.

6. Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х2-1).

Отв. Точки х1=–1/4 и х2=1/4.


Задача 1


Найти общий интеграл дифференциального уравнения:



Решение



Выполним разделение переменных, для этого разделим обе части уравнения на :



Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:


Ответ


Задача 2


Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение:



Решение

Решение однородных дифференциальных уравнений осуществляется при помощи подстановки:


,


С учетом этого, исходное уравнение примет вид:



Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на , получим,



Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования:


Возвращаясь к переменной y, получим общий интеграл исходного уравнения:



Ответ


Задача 3


Найти общий интеграл дифференциального уравнения:



Решение

Покажем, что данное уравнение является однородным, т.е. может быть представлено в виде, . Преобразуем правую часть уравнения:



Следовательно, данное уравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку,



С учетом этого, уравнение примет вид:



Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на ,



Проинтегрируем обе части уравнения,



Возвращаясь к переменной y, получим,



Ответ


Задача 4


Решить линейное дифференциальное уравнение:

Решение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то решение дифференциального уравнения будет иметь вид:



Ответ


Задача 5


Найти общее решение дифференциального уравнения:



Решение

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:


,


где – частное решение исходного неоднородного ДУ, – общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Так как корни характеристического уравнения действительные и совпадают, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид:



Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде,


,


где A, B, C – неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты в исходное уравнение:



Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их:



Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид:

Окончательно, общее решение исходного ДУ:

Ответ


Задача 6


Решить уравнение:

Решение

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:


,


где – частное решение исходного неоднородного ДУ, – общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид:



Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде,


,


где A, B, C – неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты в исходное уравнение:


Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их:



Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид:



Окончательно, общее решение исходного ДУ:



Ответ


Комментарии к решению


В задаче №1, опечатка в предполагаемом ответе, упущен показатель степени при x.

В задаче №3, ответ следует оставить в виде, содержащем модуль , т.к. нет достаточных оснований его снять.


Случайные файлы

Файл
МДС 81-1.99.doc
7480-1.rtf
74466.rtf
240-1381.DOC
142069.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.