Методы оптимизации при решении уравнений (86044)

Посмотреть архив целиком














Контрольная работа

«Методы оптимизации при решении уравнений»


Задание №1


Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.



Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:




Используем краевые условия:



Решаем систему уравнений и получаем:



Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как



то функционал на прямой достигает минимума.


Задание №2


Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями


,


при начальных и конечных условиях соответственно:



A

B

t0

tf

x0

xf

a

b

0 1

0 0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1


Решение

Формируем задачу по исходным данным:


(1)


(2)



Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:



и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):


(3)


(4)


Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):



и находим общее решение


(5)


Подставим его в первое уравнение (1):



и находим общее решение:


(6)


Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,:



Таким образом, решение имеет вид:



которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.



Задание №3


Для системы, описываемой уравнениями



с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал



A

B

t0

tf

x0

xf

g0

a

b

0 1

0 0

0

1

0

t

1

0

x1(tf) = -tf2


0

0

1


Решение. Формулируем задачу по исходным данным


(1)


(2)


т.е. , подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце,




Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)


(3)


и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:


(4)


(5)


(6)


Составим вспомогательную функцию


,


где . Таким образом:


. (7)


Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности:



(8)


(9)


Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности



Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4):



и используя (10) получим:


(11)


Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:


(12),


(13)


Используя начальные условия, можем записать:



Запишем условие с учетом (13). Тогда:


(14)


Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и :



Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:


,


а подставляя 1-е в третье, получим:



Таким образом, решение имеет вид:



Задание №4


Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы



A

B

t0

tf

F

a

b

0 1

0 0

0

1

0

0

1 0

0 2

1


Решение:

Формируем задачу по исходным данным.


(1)


не ограничено, то есть .



Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана)


(2)


(3)


(4)


Из (3) находим:


(5)


Подставим (5) в (4)


(6)


Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы


(7)


причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит


(8)


т.е. матрица должна быть положительно определённой.

Вычисляя выражения:


(9)


подставим их в (6) и обратим коэффициенты при , и в ноль, т.к. справа у нас ноль:



Отсюда:


(10)



(11)


(12)


Если , то  S < 0, что нельзя допустить. Тогда:



а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.

Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):



Задача 5


Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы



в задаче:


А

В

t0

tf

х0

xf

|u|

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

1

0

1

0

0

0

x1max

0

0

1


Решение:

Формируем задачу по исходным данным:




(4)


Составим функцию Гамильтона



Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:


(5)


(6)


(7)


Поскольку – подвижна, то используем условие трансверсальности:



Но из (5) видно, что 1 = С1 С1 = 1. Тогда из (7) видно, что 3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень 3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует:


,


а следовательно:



Тогда, поскольку 3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать


(8)


Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)


(9)


Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности в t1 и t2 получим:


(10)


Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:


(11)


Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:



Используем непрерывность при и :




Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:


(12-14)


Подставив (12) в (13), получим уравнение


.


Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):



Тогда t1 из (12) равно



и, наконец,



Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):


(15)


Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:



Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.


Задание №6


Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:



где


.


Решение:

Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);


Y = (B, AB, A2B):



Таким образом



Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что


.


Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):


H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);



.


Таким образом



Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что



Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.


Задание №7


Для линейной системы и квадратичного критерия



выполнить синтез оптимального управления с обратной связью


A

B

Q

R

0 1

1 0

1

0

1 0

0 0

1


Случайные файлы

Файл
kyrsovaya.doc
10388-1.rtf
162028.rtf
167956.doc
12930-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.