Дифференцирование. Интегрирование (86023)

Посмотреть архив целиком

Задание 1. Найти производные функций


a)

Пусть , , тогда

b)


Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:

По свойству логарифма

Таким образом,


c)


Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:



Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции

Областью определения функции являются все действительные числа,

кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.

Функция нечетная, т. к.

Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).

Найдем производную функции:


.


Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.










Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.




В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптоты графика функции :

1) вертикальная асимптота – прямая х=0


Т.к. и


2) горизонтальных асимптот нет,

т. к. и


3) наклонных асимптот нет,


т. к.

и


Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x2 + 2xy2)

Найдем частные производные первого порядка.


М (1; 0) – стационарная точка.


Найдем вторые производные и их значения в точке М.



>0 Следовательно, функция Z = ln (3 – x2 + 2xy2) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A< 0.


Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием


a)


Решаем методом замены переменной. Положим ,


тогда ,

Таким образом, получаем




Вернемся к переменной х.



Проверим дифференцированием:


b)


Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]


С


Проверим дифференцированием:


c)


Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем




Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем



Подстановка приводит интеграл к виду




Возвращаясь к аргументу х, получаем


Таким образом, ,

где С=С12


Проверим дифференцированием:


Задание 5. Вычислить определенный интеграл



Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим



Вернемся к переменной х.


Таким образом,








Библиографический список


  1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.

  2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.

  3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.




Случайные файлы

Файл
101745.rtf
60988.rtf
100758.rtf
10516.rtf
20091-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.