Вычисления по теории вероятностей (86018)

Посмотреть архив целиком

Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:

а) ровно 2 изделия;

б) не более 2 изделий.

Решение.

А)

Используя классическое определение вероятности:

Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;

m – кол-во благоприятных исходов события А;

n – количество всех возможных исходов;



Б)

Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,


;

кол-во благоприятных исходов события ;

кол-во благоприятных исходов события ;

кол-во благоприятных исходов события ;

n’ – количество всех возможных исходов;



Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.

Решение.

По формуле полной вероятности:



где А – взятие хорошей детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку небракованной детали.

; (т. к. ) = 1% = 0.01)

;

;



Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.

Решение.

По формуле полной вероятности:



где А’ – взятие бракованной детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку бракованной детали.

; (согласно условию)

;

;



Согласно формуле Байеса:



Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.


Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение.

Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:



где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.


.


Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.


Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.

Все промежуточные вычисления поместить в таблице.


Магазин №1

Магазин №2

20,35

20,01

20,60

23,55

32,94

25,36

37,56

30,68

40,01

35,34

25,45

23,20


Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине.

Формулируем гипотезы Н0 и Н1:

Н0: a1 = a2

Н1: a1 a2



xi

xi-a1

(xi-a1)2

yi

yi-a2

(yi-a2)2


20,35

-9,135

83,44823

20,01

-6,35

40,32


20,6

-8,885

78,94323

23,55

-2,81

7,896


32,94

3,455

11,93703

25,36

-1

1


37,56

8,075

65,20563

30,68


18,66


40,01

10,525

110,7756

35,34

4,32

80,64


25,45

-4,035

16,28123

23,20

8,98

9,98

176,91


366,591

158,14

-3,16

158,496


a1 = = = 29,485, a2 = =

1 = = 73.32

2 = =


n 1 = n 2 = n =6

Вычислю выборочное значение статистики:


ZВ = * =


Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1+n2-2)= 2.228.

Следовательно, так как ZВ=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.

Задача 6. По данному статистическому ряду:

  1. Построить гистограмму частот.

  2. Сформулировать гипотезу о виде распределения.

  3. Найти оценки параметров распределения.

  4. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.

Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.


Интервал

Частота случайной величины

1 – 2

5

2 – 3

8

3 – 4

19

4 – 5

42

5 – 6

68

6 -7

44

7 – 8

21

8 – 9

9

9 – 10

4



1. Гистограмма частот:



2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.

3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:


Интервалы

Частота,

mi

Середина

Интервала, xi

xi*mi

xi2*mi

1

1–2

5

4,5

7,5

112,5

2

2–3

8

2,5

20

50

3

3–4

19

3,5

66,5

232,75

4

4–5

42

4,5

189

350,5

5

5–6

68

5,5

374

2057

6

6–7

44

6,5

286

1859

7

7–8

21

7,5

157,5

1181,25

8

8–9

9

8,5

76,5

650,25

9

9–10

4

9,5

38

361


n=220


1215

7354,25


Найдем оценки параметров распределения:


= = 5,523


2= 2 = 2,925 = = 1,71


4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.


Интервалы

Частоты, mi

t1

t2

Ф(t1)

Ф(t2)

pi

1

-∞ – 2

5

-∞

-2,06

0

0,0197

0,0197

2

2–3

8

-2,06

-1,47

0,0197

0,0708

0,0511

3

3–4

19

-1,47

-0,89

0,0708

0,1867

0,1159

4

4–5

42

-0,89

-0,31

0,1867

0,3783

0,1916

5

5–6

68

-0,31

0,28

0,3783

0,6103

0,232

6

6–7

44

0,28

0,86

0,6103

0,8051

0,1948

7

7–8

21

0,86

1,45

0,8051

0,9265

0,1214

8

8–9

9

1,45

2,03

0,9265

0,9788

0,0523

9

9-∞

4

2,03

0,9788

1

0,0212


Случайные файлы

Файл
102499.rtf
106694.rtf
143806.doc
160398.rtf
16137-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.