Вычисление пределов функций, производных и интегралов (86016)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Задание № 1

Задание № 2

Задание № 3

Задание № 4

Задание № 5

Задание № 7

Задание № 8

Задача № 4

Задача № 5

Задача № 6

Список литературы



Задание № 1


3. б) Найти пределы функции:



Решение

Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов:

Если существуют


и , то:


Следовательно:



Ответ: предел функции



Задание № 2


3. б) Найти производную функции:



Решение

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда



Применим это правило к заданной функции:


Ответ:


Задание № 3


3. Исследовать функцию и построить ее график:



Решение

  1. Найдем область определения функции:


D(y)=R


  1. Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.

Условие четности: f(x)=f(-x)

Условие нечетности: f(-x)=-f(x)


при x=1: y=0

при x=-1: y=-4

Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.

Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции.

Функция



не периодична.

  1. Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.


y=0 при

;


Следовательно, имеем три промежутка:



Определим знак на каждом промежутке:

при x= -1 y=-4 < 0

при x= 0,5 y=0,125 > 0

при x= 2 y=2 > 0

Тогда: для


, для


Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:



  1. Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

Найдем производную функции:


при

,


- точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка:


Исследуемая функция в промежутке


возрастает

убывает

- возрастает

  1. Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:


при - точка перегиба

Для


,


следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.

Для


,


следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.


  1. По полученным данным построим график функции.


Рис. 3 График функции


Задание № 4


Найти интеграл:


3.


Решение

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:


F(x) + C.


Записывают:



Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:


Ответ: .


Задание № 5


Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.


, , , .


Решение.

Построим график функции:

при х=-2: y = 12

при х=-1: y = 5

при х=0: y = 0

при х=1: y = -3

при х=2: y = -4

при х=3: y = -3

при х=4: y = 0

при х=5: y = 5


Рис. 1 График


Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:



Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:


кв. ед.


Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.


Задание № 7.


Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:


, при


Решение

Общий вид дифференциального уравнения:

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: , где - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением задач Коши.

Найдем общее решение или общий интеграл:


-


общее решение дифференциального уравнения

Найдем частное решение для при


Получаем:

Ответ: - любое число.


Задание № 8


Найти вероятность случайного события.

Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?

Решение.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.



Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».

Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:


.


Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна ;

2. вероятность выпадения «шестерки» равна .



Методы вычислений и ЭВМ


Задача № 4.


Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.


Решение:

Схема решения

Алгоритм

Результат

238200 – 100 %

50175 – х %

21,064 %


Задача № 5


Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.

Решение:

По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на


Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.


Тогда:

Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %


Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:


100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %


Задача № 6


Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.


Табельный номер

Часовая тарифная ставка, руб

Отработано часов

К оплате, руб

03

6,6

165


04

8,8

72


05

7,5

216



Алгоритм решения на МК:


6,6 * 165 М+

8,8 * 72 М+

7,5 * 216 М+

16713 / MR MR * 1089 = М+

C C 633,6 = М+

1620 = М+ MR

C


Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:


  1. Ввод названий граф документа:

Адрес клетки

Вводимая строка

А1

Табельный номер

А2

03

А3

04

А4

05

В1

Начислено, руб. (всего)

С1

Часовая тарифная ставка, руб.

D1

Отработано часов

Е1

К оплате, руб.


  1. Ввод исходных данных:

Адрес ячейки

Исходные данные

В2

16713

С2

6,6

С3

8,8

С4

7,5

D2

165

D3

72

D4

216


  1. Ввод расчетных формул:

Адрес ячейки

Исходные данные

F2

С2*D2

F5

=СУММ(F2:F4)

E2

$B$2/$F$5*F2

E5

=СУММ(Е2:Е4)


Случайные файлы

Файл
506.doc
6041-1.rtf
23828-1.rtf
71263.rtf
113553.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.