Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції (85984)

Посмотреть архив целиком

Міністерство освіти і науки України

Черкаський національний університет Імені Богдана Хмельницького

Кафедра математики та методики навчання математики













Кваліфікаційна робота з математики

Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції



Автор:

Вишемірська Тетяна Володимирівна

Четвертий курс, денна форма навчання, математичний факультет

Науковий керівник:

Доктор фізико-математичних наук, професор

Стеблянко Павло Олексійович





Черкаси 2010


Зміст


Вступ

  1. В-сплайни

    1. Базис із В-сплайнів

    2. В-сплайни нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

    3. Лінійні В-сплайни

    4. Квадратичні В-сплайни

2. Кубічні В-сплайни

2.1Формули задання кубічних B-сплайнів

2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів

2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду

2.4.Апроксимація кубічними В-сплайнами

2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах

3. Практична частина

3.1Задача №1

3.2Задача №2

Висновки

Список використаних джерел




Вступ


Сплайн-інтерполяція на сьогоднішній день є одним із найточніших методів наближення. В теорію наближень сплайни ввійшли зовсім недавно і відразу ж зайняли в ній досить важливе місце. Буквально протягом кількох років для сплайнів були розв’язані апроксимаційні задачі, на розв’язання яких для поліномів були потрачені десятиліття. З подальшим вивченням і застосуванням сплайн-функцій, знадобилося їх певне спрощення, для полегшення розрахунків. Саме тоді і з’явилися В-сплайни, які як виявилося не тільки є простішими для обчислень, але й дають більшу точність наближення, що є дуже важливим при розв’язуванні практичних задач.

Актуальність: Сьогодні сплайн-функції відіграють дуже важливу роль, вони входять в курс «Чисельні методи», як додатковий метод інтерполяції, а також використовуються в курсі «Рівняння математичної фізики» для розв’язування нерозв’язних диференціальних рівнянь; з допомогою сплайнів і В-сплайнів (в основному кубічних) розв’язуються (з великою точністю) ті задачі, які не можна розв’язати іншими, відомими, методами.

В-сплайн – це крива з неперервними старшими похідними до n-ої, де n – порядок сплайна.

Мета курсової роботи: Розглянути кубічні В-сплайни, а також лінійні та квадратичні В-сплайни, форми їх запису та формули для розрахунків інтерполяційних задач, рекурентні формули для представлення В-сплайнів 1-го, 2-го, 3-го та вищих порядків. З’ясувати практичність застосування Кубічних В-сплайнів у ВНЗ при розв’язуванні задач інтерполяції. Застосувати на практиці отримані знання.

Для досягнення мети були поставлені такі завдання:

знайти і опрацювати літературу із даної теми;

систематизувати опрацьований матеріал;

отримати формули для розрахунків інтерполяційних задач;

  • визначити практичність кубічних В-сплайнів в порівнянні з іншими сплайнами і В-сплайнами;




1 B-сплайни


1.1 Базис із В-сплайнів


Одним з найширше використовуваних представлень кривих в комп'ютерному баченні є представлення у вигляді В-сплайну. Важливо розрізняти сплайни і В-сплайни. В-сплайни є поліноміальними функціями. Сплайни є лінійною комбінацією В-сплайнів. У літературі сплайни зазвичай визначаються як різні види степеневої функції. Для обчислень зручніше визначати сплайни рекурсивними функціями.

Приймемо без доведення наступну лему, яку буде використано для доведення важливої теореми:

Лема 1. Нехай - множина сплайнів порядку m дефекту 1 по розбиттю . Якщо і сплайн із задовольняє умови , то на .

Теорема 1. Система із В-сплайнів


, (1) порядку за розбитям з носіями є базисом в .


Доведення. Нехай


, ; (2) потрібно довести, що (). Безпосередньо із визначення В-сплайнів (1) виплива, що при ; але тоді з урахуванням (2)


, і в силу леми 1 для . Таким чином,


, .(3)


Оскільки на проміжку , а при , то із (3) слідує, що , так що


, .


Для при і при , а тому і


, .


Розмірковуючи аналогічно, далі прийдемо до рівності


що й треба було довести.


Наслідок 1. Будь-який сплайн із єдиним чином представляється у вигляді


, .(4)


Якщо сплайн із однозначно визначається деяким набором із інтерполяційних умов, то, підставляючи в ці умови замість суму (4), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Усилу скінченності носіїв сплайнів в кожному рядочку визначника цієї системи, не дорівнюватимуть нулю лише елементів - значення сплайнів (або їх похідних) в одній із точок розбиття . При цьому не нульові елементи, які відповідають внутрішнім умовам інтерполяції, будуть розміщені вздовж головної діагоналі визначника. Саме це і забезпечує, принаймні для малих , простоту обчислення коефіцієнтів лінійної комбінації (4) [1].


1.2 В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків


В-сплайном нульового степеня, побудованим на числовій прямій по розбиттю , називається функція вигляду:


, (5)


Єдине обмеження полягає в тому, що В-сплайни повинні відповідати умові:



Зокрема, якщо , то [2].

В-сплайн степеня , побудований на числовій прямій по розбиттю , визначається наступною рекурентною формулою:


, (6)


де , . (7)


При однаковій відстані між сусідніми вузлами В-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку неоднорідними. Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції [3].

Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є


, (8)

де , [3]. (9)


1.3 Лінійні B-сплайни


Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційованими.

Скориставшись рекурентною формулою (6), отримаємо формулу для лінійного В-сплайна:


(10)


Підставивши у (10) формулу (5) маємо:


(11)


Або у випадку рівномірної сітки з кроком () отримаємо:


(11)


Нижче на малюнку 1 представлено графік В-сплайна 1-го порядку:


Мал. 1 - Графік В-сплайна


1.4 Квадратичні B-сплайни


Із рекурентної формули (6), отримаємо наступну форму запису квадратичного В-сплайна:


(12)


Тепер ми можемо, або скористатись лише формулою (11), підставивши її у (12) отримаємо:


(13)


А у випадку рівномірної сітки з кроком h матимемо:


(13)


Або спершу в (12) підставимо (10) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо квадратичний В-сплайн в вигляді:

, (14)


а потім в (14) підставимо (5) і отримаємо ту ж саму формулу (13) [4].

Графік В-сплайна 2-го - - степеня представлено на малюнку 2:


Мал. 2 - Графік В-сплайна


В-сплайн довільного степеня може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному вузлами) [4].




2 Кубічні B-сплайни


2.1 Формули задання кубічних B-сплайнів


Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:



Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн був відмінний від нуля на відрізку [5]. Запишемо тепер у випадку рівномірної сітки (з кроком ) його:


(15)


Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:



Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну


2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів


Функція :

а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;

б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках

Відрізок називають носієм функції [6].

Доповнимо розбиття допоміжними вузлами:



,взятими довільно.

За розширеною сіткою:

:можна побудувати сім’ю з кубічних В-сплайнів:

,

Ця сім’я утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн , побудований по розбиттю із вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:



Умовами задачі коефіцієнти цього розбиття визначаються однозначно [7].


2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду


У випадку коли задані значення функції в вузлах сітки і значення і першої похідної функції на кінцях сітки (задача інтерполяції з граничними умовами першого роду), коефіцієнти обчислюються із системи наступного вигляду:


, де (16)


Після виключення і отримується лінійна система з невідомими і 3-діагональною матрицею, яку можна розв’язати, як методом Гауса, так і методом прогонки [8].

При розв’язанні задачі інтерполяції другого роду використовують значення похідних другого порядку на кінцях сітки: і . І коефіцієнти вже обчислюються із системи:


(16’)


таким самим чином, як і під час розв’язування задачі інтерполяції першого роду.


2.4 Апроксимація кубічними В-сплайнами


Случайные файлы

Файл
106814.rtf
22376-1.rtf
96698.rtf
CBRR1897.DOC
48875.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.