Основы теории вероятности (85969)

Посмотреть архив целиком

















Контрольная работа


Основы теории вероятности


Задание 1


Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы.

Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”

p1 = 0.7

p2 = 0.8

p3 = 0.9

p4 = 0.7

p5 = 0.8

Проверка теоремы с помощью программы:

Текст программы:


Program Cep;

Uses CRT;

Const c=5;

Var op,i,j,n,m:integer;

a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;

p:array[1..c] of real;

x:array[1..c] of byte;

Begin

ClrScr;

Randomize;

p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;

Writeln(' Опытов: Мсходы: Вер-ть:'); Writeln;

For op:=1 to 20 do Begin

n:=op*100;m:=0;

Write(' n=',n:4);

For i:=1 to n do Begin

For j:=1 to c do Begin

x[j]:=0;

a:=random;

if a

End;

rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);

If rab>0 then m:=m+1;

End;

pp:=m/n;

writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3);

End;

ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);

ppp:=ppp1-ppp2;

Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3);

Readln;

End.



Результаты работы программы

Опытов

М-сходы

Вер-ть

n= 200

n= 300

n= 400

n= 500

n= 600

n= 700

n= 800

n= 900

n=1000

n=1100

n=1200

n=1300

n=1400

n=1500

n=1600

n=1700

n=1800

n=1900

n=2000

n= 100

M= 163

M= 247

M= 337

M= 411

M= 518

M= 591

M= 695

M= 801

M= 908

M= 990

M= 1102

M= 1196

M= 1303

M= 1399

M= 1487

M= 1576

M= 1691

M= 1782

M= 1877

M= 94

P*= 0.815

P*= 0.823

P*= 0.843

P*= 0.822

P*= 0.863

P*= 0.844

P*= 0.869

P*= 0.890

P*= 0.908

P*= 0.900

P*= 0.918

P*= 0.920

P*= 0.931

P*= 0.933

P*= 0.929

P*= 0.927

P*= 0.939

P*= 0.938

P*= 0.939

P*= 0.940


Вер. в опыте: p= 0.939

Проверка в ручную:

Первый способ:


Второй способ:


Вывод: Теорема Бернулли верна


Задача № 2


Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма чисел очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в)произведение числа очков делится на N. (N = 8)

Исходы:

1-1 2-1 3-1 4-1 5-1 6-1

1-2 2-2 3-2 4-2 5-2 6-2

1-3 2-3 3-3 4-3 5-3 6-3

n = 36 – кол-во комбинаций

1-4 2-4 3-4 4-4 5-4 6-4

1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 6-5

1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6


а). Сумма чисел не превосходит N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 26

Вероятность



б). Произведение чисел не превосходит N = 8: кол-во благоприятных исходов m = 16


Вероятность



в). Произведение числа очков делится на N = 8 : кол-во благоприятных исходов m = 5


Вероятность



Задача № 3


Имеются изделия четырёх сортов, причём число изделий i - го сорта равно ni, i = 1, 2, 3, 4.

Для контроля наудачу берутся m – изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3 и m4 второго, третьего и четвёртого сорта соответственно.




Задача № 4


В лифт k – этажного дома сели n пассажироа (n

k = 11, n = 4


а) Все на разных:


n = 114 = 14641


б) Хотя бы два на одном:



Задача № 5


В двух партиях k1 и k2% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное.

k1 = 86% , k2 = 32%

A1 - доброкачественные в 1-й партии

A2 - доброкачественные в 2-й партии

а). одно бракованное:



б). два бракованных:



в). Одно доброкачественное и одно бракованное:



Задача № 6


Из 1000 ламп ni принадлежат i – партии, i = 1, 2, 3. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных лам. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.


n1 = 700 n2 = 90 n3 = 210

p1 = 0.06 p2 = 0.05 p3 = 0.04


Пусть:

H1 – взяли из 1-й партии

H2 – взяли из 2-й партии

H3 – взяли из 3-й партии



Пусть Bi – брак из i - й партии =>



Так как


то =>


Задача № 7


В альбоме k чистых и l гашёных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашёные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.

k = 8, l = 7, m = 3, n = 3


Пусть:

H1 – все чистые марки

H2 – 1-чистая, 2-гашёные

H3 – 2-чистые, 1-гашёная

H4 – все гашёные



По теореме о полной вероятности:



Задача № 8


В магазин поставляют однотипные изделия с трёх заводов, причём i – заводпоставляет mi% изделий (i = 1, 2, 3). Среди изделий i – го завода n1% первосортных. Куплено одно изделие.

Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено i – заводом.


m1 = 60 m2 = 20 m3 = 20

n1 = 70 n2 = 80 n3 = 90


Пусть:

H1 – поставил первый завод

H2 – поставил второй завод

H3 – поставил третий завод


Пусть: А – первосортных изделий =>



По формуле Бейсса:


=> так как i = 3


Задача 9


Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

p = 0.3 - вероятность на 1 билет

n = 15 - кол-во купленных билетов


Формула Бернули :



m = 1,2,3,4,…..,n

Производная функция :


q = 1 – p


Наивероятнейшее число выигравших билетов


=>

Наивероятнейшее число выигравших билетов : m0 = 4


- соответствующая вероятность


Задача № 10


Вероятность “сбоя” в работе телефонной станции при каждом вызове равна p. Поступило n вызовов. Определить вероятность m сбоев.

р = 0.007 - вероятность “сбоя” при вызове

n = 1000 - кол-во вызовов

m = 7 - кол-во “сбоев”


По закону Пуассона:



=>


Задача № 11


По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию φ(t), математическое ожидание Мξ, дисперсию Dξ случайной величины ξ.

Биномиальный закон:



n = 3

p = 0.67


=>

=>


Литература


  1. Е.С. Венцель “Теория вероятности”

  2. В.Ф. Чудесенко “Сборник заданий по спецкурсу высшей математики ТР”

  3. Курс лекций по Теории вероятности


Случайные файлы

Файл
140813.doc
148169.rtf
19618.rtf
pn_ae_g-14-41-97.doc
87920.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.