Функции и их производные (85888)

Посмотреть архив целиком

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4


ВАРИАНТ 4.3


1.

а) Найти производные от данных функций:



б)


Применяем правило нахождения производной произведения функций



в)



2


Дана функция

Найти:

а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)

По определению:



б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}

По определению:


Величины найдены в п.а)

Найдем cosб, cosв, cosг.



По формуле получаем:



3.

Дана функция .

Найти y”. Вычислить y”(-1).



4.

Доказать, что функция удовлетворяет уравнению



подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать.


5


Найти если

Вычислить если .

Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически



6.

Функции задана неявно уравнением


Вычислить:


а)


Вычисления проводим по формуле



б)


7.


На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.

Из геометрического смысла производной имеем




8.


Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если


Для имеем



9.


Дана функция и точки и

Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно



Дифференциал функции dz равен



10.

Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем



Приравниваем числитель к нулю при условии



Решение отбрасываем.

совпадает с граничным значением.

Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.



Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3.


11

Дана функция .

Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми .

Найдем стационарные точки из системы уравнений



Решаем систему уравнений



Сделаем чертеж

На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной



Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.

На участке у=-1 получаем



Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем , отсюда .

Находим

На участке границы у=1-х получаем функцию



Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].



На границах отрезка

Сравниваем все найденные значения функции


видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).

Ответ: 23;4.


12.


Провести полное исследование функции и начертить ее график.

1. Найдем область определения функции .

Функция непериодична.

2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции , симметрии нет.

3. Определим «поведение функции в бесконечности»



4. Точка разрыва х=-2



5. найдем пересечение кривой с осями координат

т.А (0;2)



Корней нет, нет пересечения с осью OY.

6. Найдем точки максимума и минимума



в точке производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.

При первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.


7. Найдем точки перегиба


, точек перегиба нет. При вогнутость вверх, при , вогнутость вниз.

8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде , где



Получили асимптоту у=х.

Найдем пересечение кривой с асимптотой


Точек пересечения нет.


Строим график


Случайные файлы

Файл
work.doc
117520.rtf
19501.rtf
2270.rtf
28215-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.