Система линейных уравнений (85852)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Введение

1. Основные понятия

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Заключение

Список литературы




Введение


Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:


a11x1 + … + a1n xn = b1;

a21x1 + … + a2n x n = b2;

………………………………

am1x1+ … + amnxn = bm.


Здесь x1, …, xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.




1. Основные понятия


В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:


a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2; (1)

……………………………………

am1x1+ am2x2 + …+ amnxn = bm;


где х1, х2, …, хn - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, аmn называются коэффициентами системы, а b1, b2, …, bm - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы аij (i=1, 2,..., m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены bi (i=1, 2,...,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел α1, α2, αn, которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х1, х2, …, хn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.


2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера


Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:


a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2; (2)

……………………………………

an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn;


Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов аij.


a11 a12 … a1n

= a21 a22 … a2n

…………………………

an1 an2 … ann


Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через Аij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента аij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя , т.е. первое уравнение умножим на А1i, второе – на А2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на Аni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь


(a11x1 + a12x2 + …+ a1ixi + …+ a1nxn) A1i + (a21x1 + a22x2 + …+ a2ixi +

+ …+ a2nxn) A2i + …+ (an1x1 + an2x2 + …+ anixi + …+ anxnn) Ani = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni


или, сгруппировав члены относительно известных x1, x2, …, xn, получим


(a11A1i + a21A2i + …+ an1Ani) x1 + … +

+ (a1iA1i + a2iA2i + …+ aniAni) xi + … +

+ (a1nA1i + a2nA2i + …+ annAni) xn =

= b1A1i + b2A2i + …+ bnAni. (3)


Коэффициент при неизвестной хi равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1i, а2i, …, аni заменены свободными членами b1, b2, …, bn уравнения (2). Следовательно, выражение b1A1i + b2A2i + …+ bnAni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель xi, будем иметь


a11 a12 b1 a1n

xi = a21 a22 b2 a2n. (3)

………………………………

an1 an2 bn ann


Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде


х =∆xi,


откуда при ∆ ≠ 0


х = ——


Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:


х1 = ——;


х2 = ——;

(4)

………………


хn = ——.


Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (4) – формулами Крамера.


3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными


Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:


а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = 0;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = 0; (5)

…………………………………

аn1х1 + аn2х2 + …+ аnnхn = 0.


Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:

х1 = 0, х2 = 0,..., хп = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (5) всегда

совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть  = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все xi = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (bi = 0). Поэтому система, равносильная системе (3), будет иметь вид


x1= 0, x2=0;...,xn= 0


Из этой системы следует, что однородная система (5) имеет единственное нулевое решение, если Δ 0; если же  = 0, то из условий (3) следует, что она имеет бесчисленное множество решений.


4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений


Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , x1, x2, …,xn. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:



а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = b1;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = b2; (6)

. ……………………………………

аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm


Требуется найти все решения системы уравнений (6). Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида


1 + 0х2 + …+ 0хn = 0 (7)


и прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число .

Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы (6) любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему (6) будем подвергать еще одному виду преобразований – перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы (например, в k -м) неизвестная x1 стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде


akix1 +... + ak2x2 + … + ak1xi+... + aknxn = bk,


т. е. вместо прежней неизвестной хi мы будем писать х1, а вместо x1 – хi Метод Гаусса решения системы (6) заключается в последовательном исключении переменных.

Если среди уравнений системы есть хотя бы одно уравнение вида


0xl + 0x2+... + 0xn= b, (8)


причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х1, х2..., хп не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.


Случайные файлы

Файл
102517.rtf
160230.rtf
VDV-1553.DOC
160941.rtf
4280-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.