Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики (85810)

Посмотреть архив целиком


Вариант 1


1


Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.


а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.

в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда


Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994.


11


Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,


21


По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).


хі

1

2

3

4

5

рі

0,05

0,18

0,23

0,41

0,13


Последовательно получаем:


5

М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.

i=1

5

D(X) = ∑ xi²piM² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1

1,1579.


σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.


31


Случайная величина Х задана интегральной функцией



а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;


г) построить графики функций F(x) и f(x).


Последовательно получаем:


а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a)  P= F(1) – F= – 0 = .

Графики функций поданы далее.




41


Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.


Используем формулу Р(α < x < β) =

Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф– Ф(–2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:


Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.


51


По данному статистическому распределению выборки

хі

4

5,8

7,6

9,4

11,2

13

14,8

16,6

mі

5

8

12

25

30

20

18

6


Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.


Для решения задачи введём условную переменную

, где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 1,8).

Пусть С = 11,2. Тогда .

Заполним таблицу:


xi

mi

xi´

ximi

(xi´)²mi

4

5

4

20

80

5,8

8

3

24

72

7,6

12

2

24

48

9,4

25

1

25

25

11,2

30

0

0

0

13

20

1

20

20

14,8

18

2

36

72

16,6

6

3

18

54


= 124


= – 19

= 371

Используя таблицу, найдём ;

D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² = – (– 0,1532)² = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

_

x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;


σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.


61


По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.


у х

6

9

12

15

18

21

ny

5

4

2





6

15


5

23




28

25



18

44

5


67

35



1

8

4


13

45





4

2

6

nx

4

7

42

52

13

2

n = 120


Для упрощения расчетов введем условные переменные


u = , v = . Составим таблицу:


v u

3

2

1

0

1

2

nv

nuvuv

2

4 6

2 4





6

32

1


5 2

23 1




28

33

0



18 0

44 0

5 0


67

0

1



1 –1

8 0

4 1


13

3

2





4 2

2 4

6

16

nu

4

7

42

52

13

2

n = 120

= 84


Последовательно получаем:


;

;

;

;

σu² = – (u)² = 1,058 – (– 0,425)² = 0,878; σu = √0,878 = 0,937;

σv² = – (v)² = 0,742 – (– 0,125)² = 0,726; σv = √0,726 = 0,8521;


По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 84.

Находим выборочный коэффициент корреляции:



Далее последовательно находим:


x = uh1 + C1 = – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = vh2 + C2 = – 0,125∙10 + 25 = 23,75;

σx = σuh1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σvh2 = 0,8521∙10 = 8,521.


Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем



по уравнению:


ух=12 = 2,457∙12 – 9,968 = 19,516; ε1 = 19,762 – 19,516 = 0,246;


2) при х = 18 по таблице имеем



по уравнению:


ух=18 = 2,457∙18 – 9,968 = 34,258; ε2 = 34,258 – 34,231 = 0,027.


Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.


Вариант 2


2


Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.


Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда


а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.


12


В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .

Таким образом,


22


По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).


хі

2

3

4

5

8

рі

0,25

0,15

0,27

0,08

0,25


Последовательно получаем:


5

М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.

i=1

5

D(X) = ∑ xi²piM² = 2²∙0,25 + 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25 – 4,43² і=1

= 5,0451.

σ(Х) = √D(X) = √5,0451 = 2,246.


32


Случайная величина Х задана интегральной функцией



а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу


;


г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a)  P= F(1) – F=


Графики функций приводятся далее.















42


Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.

Используя формулу имеем



Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:



52


По данному статистическому распределению выборки


хі

7,6

8

8,4

8,8

9,2

9,6

10

10,4

mі

6

8

16

50

30

15

7

5


Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

где С – одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 0,4).

Пусть С = 8,8. Тогда

Заполним таблицу:


xi

mi

xi´

ximi

(xi´)²mi

7,6

6

3

18

54

8

8

2

16

32

8,4

16

1

16

16

8,8

50

0

0

0

9,2

30

1

30

30

9,6

15

2

30

60

10

7

3

21

63

10,4

5

4

20

80


= 137


= 51

= 335


Используя таблицу, найдём


;

D(x´) = ∑(xi´)²mi – (xi´)² = – 0,3723² = 2,3067.


Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):



x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961;


σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.


62


По данной корреляционной таблице


у х

4

8

12

16

20

24

ny

10

2

5





7

20


6

8

4



18

30


8

46

10



64

40



5

20

4


29

50



3

14

2

5

22

nx

2

19

62

48

6

3

n = 140


найти выборочное уравнение регрессии.


Для упрощения расчетов введём условные переменные


Составим таблицу.


v u

2

1

0

1

2

3

nv

nuvuv

2

2 4

5 2





7

18

1


6 1

8 0

4 –1



18

2

0


8 0

46 0

10 0



64

0

1



5 0

20 1

4 2


29

28

2



3 0

14 2

2 4

5 6

22

66

nu

2

19

62

48

6

3

n = 140

= 114


Последовательно получаем:


;

;

;

;

σu² = – (u)² = 0,9 – 0,329² = 0,792; σu = √0,792 = 0,89;

σv² = – (v)² = 1,164 – 0,293² = 1,079; σv = √1,079 = 1,0385;


По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 114.

Находим выборочный коэффициент корреляции:



Далее последовательно находим:


x = uh1 + C1 = 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = vh2 + C2 =0,293∙10 + 30 = 32,929;

σx = σuh1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σvh2 = 1,0385∙10 = 10,385.


Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем


по уравнению: ух=12 = 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1 = 30,484 – 29,944 = 0,54;

2) при х = 16 по таблице имеем

по уравнению: ух=16 = 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2 = 39,167 – 39,008 = 0,159.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.




Случайные файлы

Файл
182884.rtf
43373.rtf
8641.rtf
75128-1.rtf
82843.rtf