Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці (85793)

Посмотреть архив целиком

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

кафедра інформатики









КОНТРОЛЬНА РОБОТА

ПО КУРСУ: Чисельні методи

на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»



Зміст


Постановка задачі

Вступ

1 Теоретична частина

2 Програмна реалізація

Список використаної літератури



Постановка задачі


Використовуючи метод кінцевих різниць , розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння



Вступ


Нехай потрібно чисельно розвязати задачу Коші для звича-йного диференціального рівняння першого порядку, тобто знайти наближений розвязок диференціального рівняння y=F(x,y), що задовольняє початковій умові y(x)=y.Чисельне розвязання задачі полягає в побудові таблиці наближених значень y,y,y,...,y-розвязку рівняння y=(x ) у точках x,x,x,...,x - вузлах сітки .


y


yn *


y3 *

y2 *

y1 *

y0 *

O x0 x1 x2 x3 xn x


На рисунку * позначені точки, що відповідають наближено-му розвязку задачі Коші. Треба зазначити, що частіше використо-вують систему рівновіддалених вузлів x =x + ih (i=1,2,..,n) , де h - крок сітки

( h > 0 ) .



1 Теоретична частина


Методи Рунге-Кутта

Різні представники цієї категорії методів потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розвязанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.

Якщо неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похідними, то гарні результати дає метод четвертого порядку. Він описується системою наступних п'яти співвідношень:


  1. ();


Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів

оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розвязки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці хi подається у вигляді


.


За формулою Рунге



Таким чином, із точністю до (величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:



де yi – наближене значення, отримане в точці з кроком h; y2i – із кроком h/2; p - порядок методу; y(x2i) - точний розвязок задачі.


Метод прогнозу і корекції

Підправивши схему Эйлера , одержимо схему прогнозу


,


де наближене значення . Цю формулу використовувати не можна ,оскільки схема прогнозу нестійка . Тому використовує-мо схему корекції



Оцінюючи похибки прогнозу і корекції, одержимо

- похибка корекції,

- похибка прогнозу .


Істинне значення лежить між прогнозом і корекцією .На будь-якому кроці можна оцінити точність рішення . При заданому =0,0000001, наприклад, .

Віднімаючи з співвідношення , маємо

.

Уточнюємо розвязання, виходячи з формули :



Ця формула завершає схеми прогнозу і корекції .


Метод кінцевих різниць для розвязання лінійних крайових задач

Маємо відрізок [a,b]. Потрібно знайти розвязок лінійного диференціального рівняння другого порядку


,


що задовольняє такі крайові умови:


Виберемо рівномірну сітку: x = a + ih, i = 0,1,2,…,n... Нехай Апроксимуємо і у кожному внутрішньому вузлі (i = 1, 2, …, n-1) центральними різницями , і на кінцях відрізка – односторонніми скінченнорізницевими апроксимаціями , .

Використовуючи ці формули, одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:


Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.

Введемо позначення:



Перепишемо систему з урахуванням введених позначень:



Маємо різницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутій матричній формі:

Таким чином, завдання зводиться до розвязання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.


2 Програмна реалізація


Реалізація пакетом Maple


> ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;

  • dsolve[interactive]( ss );


Список використаної літератури


  1. Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.

  2. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. “Численные методы”, Москва, 1987г.

  3. Мусіяка В. Г. Основи чисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл.

  4. Л. Д. Назаренко Чисельні методи. Дистанційний курс.


Случайные файлы

Файл
Graphics.doc
13404.rtf
49255.rtf
4697-1.rtf
CBRR4395.DOC




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.