Математические уравнения и функции (85755)

Посмотреть архив целиком

Варивант №2


Задание 1


Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:

  1. Длину стороны АВ;

  2. Внутренний угол А с точностью до градуса;

  3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

  4. Точку пересечения высот;

  5. Уравнение медианы, опущенной из вершины С;

  6. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;

  7. Сделать чертеж;

Решение:

  1. Найдем координаты вектора АВ:



Длина стороны АВ равна:



  1. Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)



Тогда

  1. Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:



Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:

  1. Координаты основания медианы будут:


;


Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М



Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0

  1. Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору



Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:


х=11 у=23


  1. Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор .



Теперь воспользовавшись формулой



Подставляя в нее координаты точки С(0,3)



Задание 2


Даны векторы Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.



Решение:

  1. Докажем, что подсистема линейно независима:



Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана.

Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .

Очевидно,



Найдем представление через .



Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три



Получили , что данная система векторов не может называться базисом!


Задание 3


Найти производные функций:



Задание 4.


Исследовать функцию и построить ее график



  1. Область определения:

, то есть

2. Кривая имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как



Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.

  1. Функция общего вида, так как и

  2. Функция периодичностью не обладает

  3. Находим производную функции



Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.

Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы


х

1

5

y’

-

-

0

+

0

-

y

убывает

убывыает

0

min

возрастает

0,074

убывает


  1. Находим вторую производную функции


Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11

Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.


х

0.22

6.11

y”

-

+

0

+

0

-

y

выпукла

вогнута

0,335

перегиб

вогнута

0,072

выпукла


  1. Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу

получаем точку (0;1); получаем точку (1;0)

  1. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166

  2. Строим график в соответствии с результатами исследований:



Задание 5


Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.


а) ; б) ; в) ; г)


Решение:

а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:



Проверка:



б) сделаем подстановку



Проверка:




в) Воспользуемся способом интегрирования по частям



Проверка:



г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей





Проверка:



Задание 6


Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:



Решение:

находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:

приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение

корни этого квадратного уравнения

следовательно : , и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:

т.к получаем:







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.