Математические основы теории систем (85752)

Посмотреть архив целиком

Задача 1. Элементы теории графов


Связный ориентированный граф G (Х, Г) задан множеством вершин X={x1, x2, …, xn} и отображением Гxi={x|Ik|, x|Il|}, i =1, 2,, n. Здесь i - текущий номер вершины, n- количество вершин графа. Значение индексов n, k и l возьмем из табл.1 в соответствии с номером варианта. Индексы k и l формируют значения индексов ,  , … переменной x в отображении Гxi = {x , x , x,…}. Если значения индексов , , … переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, то эта переменная не учитывается во множестве Гxi.

Выполнить следующие действия:

а) определить исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами;

б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов;

в) выделить в ориентированном графе два подграфа. Найти объединение, пересечение и разность подграфов;

г) описать систему уравнений, соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и xj


i*j при i  j;

Kij =

1/ (p+1) при i .


Найти передачу между вершинами x1 и xn, используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы, определяемой топологией графа;


Таблица 1

варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

N

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

K

2

3

4

1

1

1

3

5

2

4

2

3

4

5

6

L

1

1

1

2

3

4

2

1

3

3

1

1

1

1

1

варианта

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

N

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

K

1

1

1

1

3

2

5

5

2

3

4

5

6

5

3

L

2

3

4

5

2

3

2

3

3

2

3

2

1

3

5


Решение:

Множество вершин


X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6 }, n = 6 k = 2, l = 1 Гxi={x|Ik|, x|Il|}.


а) определим исходный граф и ассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным и аналитическим способами:

Определим граф аналитическим способом:


Гx1 = { x1, x3, x2 };

Гx2 = { x4, x1, x3 };

Гx3 = { x1, x5, x2, x4 };

Гx4 = { x2, x6, x3, x5 };

Гx5 = { x3, x4, x6 };

Гx6 = {x4, x5 }.


Ориентированный граф графическим способом:



Неориентированный граф графическим способом:



Ориентированный граф матричным способом:


RG - матрица смежности



x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

1*

1

1

0

0

0

x2

1

0

1

1

0

0

x3

1

1

0

1

1

0

x4

0

1

1

0

1

1

x5

0

0

1

1

0

1

x6

0

0

0

1

1

0


AG - матрица инцидентности



v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

v12

v13

v14

v15

v16

v17

v18

v19

x1

1*

1

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

0

0

0

x2

0

-1

1

1

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

0

x3

0

0

0

-1

1

1

-1

0

0

0

0

-1

1

0

0

1

-1

0

0

x4

0

0

0

0

0

-1

1

1

-1

0

0

0

0

-1

1

0

0

1

-1

x5

0

0

0

0

0

0

0

-1

1

1

-1

0

0

0

0

-1

1

0

0

x6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

1

0

0

0

0

0

0

-1

1


Неориентированный граф матричным способом:

RD - матрица смежности



x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

1*

2

2

0

0

0

x2

2

0

2

2

0

0

x3

2

2

0

2

2

0

x4

0

2

2

0

2

2

x5

0

0

2

2

0

2

x6

0

0

0

2

2

0


AD - матрица инцидентности



v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

v12

v13

v14

v15

v16

v17

v18

v19

x1

1*

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

x2

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

x3

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

x4

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

x5

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

x6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1


б) установить центры и периферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов:

- матрица отклонений имеет вид:



x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

1

1

1

2

2

3

x2

1

0

1

1

2

2

x3

1

1

0

1

1

2

x4

2

1

1

0

1

1

x5

2

2

1

1

0

1

x6

3

2

2

1

1

0


- вектор отклонения


=>


х2, х3, х4, х5 - центры графа с наименьшей удаленностью. Радиус ρ (G) = 2.

Периферийными вершинами являются вершины х1, х6 с наибольшей удаленностью. Диаметр графа D (G) = 3.

в) выделим в ориентированном графе два подграфа и найдем объединение, пересечение и разность подграфов.



Выделяем два подграфа: G1 и G2


X1 - {x1, x2}, Г1х1 = {x1, x2}, Г1х2 = {x1},

X2 - {x1, x2, x3}, Г2х1 = {x2}, Г2х2 = {x3}, Г2х3 = {x2}.


Объединение ,


,, , .


G


Пересечение


,,, .


G


Разность


,

, , .


G


г) Считая, что передача между вершинами xi и xj


i*j при i  j;

Kij =

1/ (p+1) при i .


Сигнальный граф имеет вид



Система уравнений, соответствующая сигнальному графу имеет вид


x1 = x1 +2x2 +3x3

x2 = x1 +6 x3 +8 x4

x3 = x1 + x2+12x4 +15x5

x4 = x2 + x3 +20 x5 +24x6

x5 = x3 + x4 +30x6

x6 = x4 +x5


Определить передачу k16 по правилу Мезона. Формула Мезона имеет вид



PS - передача пути,

DS - алгебраическое дополнение,

D - определитель.



Пути из х1 в х6 и передаточные функции для каждого из них имеют вид:



Контура:


;

;;

;;

;;

;;

;;

;

;.

;.


Пары несоприкасающихся контуров


L1L3, L1L4, L1L5, L1L6, L1L8, L1L9, L1L10, L1L13, L1L14, L1L15, L1L16, L1L17, L1L18;

L2L4, L2L5, L2L6, L2L8, L2L9, L2L10, L2L15, L2L16, L2L17, L2L18;

L3L5, L3L6, L3L10, L3L17, L3L18;

L4L6, L5L7; L5L11, L5L12, L6L7, L6L8, L6L11, L6L12, L6L13, L6L14;

L7L8, L7L10, L7L17, L7L18;

L8L9, L9L10, L10L11, L10L12, L11L17, L11L18, L12L17, L12L18.


Независимые тройки


L1L3L5, L1L3L6, L1L3L10, L1L3L17, L1L3L18, L1L4L6, L1L6L8, L1L6L13, L1L6L14, L1L8L9,L1L9L10, L2L4L6, L2L9L10, L6L7L8.


Отсюда


D = 1 - (L1 +L2 +L3 +L4 +L5 + L6 +L7 + L8 +L9 +L10 +L11 +L12 +

+L13 +L14+L15 +L16+L17 +L18)+ (L1L3+L1L4+L1L5+L1L6+L1L8+L1L9+L1L10+L1L13+L1L14+L1L15+L1L16+L1L17+L1L18+L2L4+L2L5+L2L6+L2L8+L2L9+L2L10+L2L15+L2L16+L2L17+L2L18 +L3L5+L3L6+L3L10+L3L17+L3L18 L4L6+L5L7+L5L11+L5L12+L6L7+L6L8+L6L11+L6L12+L6L13+L6L14+L7L8+L7L10+L7L17+L7L18+L8L9+L9L10+L10L11+L10L12+L11L17+L11L18+L12L17+L12L18) -

(L1L3L5+L1L3L6+L1L3L10+L1L3L17+L1L3L18+L1L4L6+L1L6L8+L1L6L13+L1L6L14+L1L8L9+L1L9L10+L2L4L6+L2L9L10+L6L7L8).

D1 = 1- L8;

D2 = 1;

D3 = 1;

D4 = 1 - L9;

D5 = 1;

D6 = 1.

.


Структура кинематической системы представлена на рисунке:



Задача 2. Задача о максимальном потоке и потоке минимальной стоимости


Транспортная сеть задана в виде ориентированного графа, приведенного на рисунке.



На каждом из ребер проставлены значения пропускной способности С () ребра .

Для заданной сети определить максимальный поток max транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую — стоком.

Решение:

Максимальный поток max транспортировки груза между указанной парой вершин, считая одну из них источником, а другую — стоком:

Первый шаг.1. Находим какой-либо путь из х1 в х9 с положительной пропускной способностью.


Tаблица 1.


x1

x2 (1)

x3 (1)

x4 (1)

x5 (2)

x6 (3)

x7 (3)

x8 (2)

x9 (6)

x1


7

9-

4






x2

0



8

3



6


x3

0+



5


8-

4



x4

0

0

0




9

2


x5


0






2


x6



0+




5


3-

x7



0

0


0


7

6

x8


0


0

0


0


8

x9






0+

0

0



В результате получен путь l1 = (x1, х3, х6, х9). Элементы этого пути Cij помечаем знаком минус, а симметричные элементы Cji - знаком плюс.

Определяем пропускную способность найденного пути, которая равна наименьшей из пропускных способностей дуг:



Определяем остаточные пропускные способности дуг найденного пути и симметричных ему дуг. Для этого из элементов табл.1 вычитаем C1, а к элементам прибавляем C1. В результате получим новую табл.2 с измененными пропускными способностями.


Tаблица 2


x1

x2 (1)

x3 (1)

x4 (1)

x5 (2)

x6 (3)

x7 (3)

x8 (2)

x9 (7)

x1


7

6-

4






x2

0



8

3



6


x3

3+



5


5

4-



x4

0

0

0




9

2


x5


0






2


x6



3




5


0

x7



0+

0


0


7

6-

x8


0


0

0


0


8

x9






3

0+

0



Второй шаг.1. Помечаем столбцы табл.2, находим второй путь l2 = (x1,x3, х7, х9) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l2



Изменим пропускные способности помеченных дуг на С2 в табл.3.


Tаблица 3


x1

x2 (1)

x3 (1)

x4 (1)

x5 (2)

x6 (3)

x7 (4)

x8 (2)

x9 (7)

x1


7

2

4-






x2

0



8

3



6


x3

7



5


5

0



x4

0+

0

0




9-

2


x5


0






2


x6



3




5


0

x7



4

0+


0


7

2-

x8


0


0

0


0


8

x9






3

4+

0



Третий шаг.1. Пометив столбцы, находим l3 = (x1, х4, х7,x9).

Величина потока по пути l3



Вычислив новые пропускные способности дуг, приходим к табл.4.


Таблица 4


x1

x2 (1)

x3 (1)

x4 (1)

x5 (2)

x6 (3)

x7 (4)

x8 (2)

x9 (8)

x1


7-

2

2






x2

0+



8

3



6-


x3

7



5


5

0



x4

2

0

0




7

2


x5


0






2


x6



3




5


0

x7



4

2


0


7

0

x8


0+


0

0


0


8-

x9






3

6

0+



Четвертый шаг.1. Помечаем столбцы табл.4, находим четвертый путь l4 = (x1, х2, х8, х9) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l4



Изменим пропускные способности помеченных дуг на С4 в табл.5.


Таблица 5


x1

x2 (1)

x3 (1)

x4 (1)

x5 (2)

x6 (3)

x7 (4)

x8 (4)

x9 (8)

x1


1

2

2-






x2

6



8

3



0


x3

7



5


5

0



x4

2+

0

0




7

2-


x5


0






2


x6



3




5


0

x7



4

2


0


7

0

x8


6


0+

0


0


2-

x9






3

6

6+



Пятый шаг.1. Помечаем столбцы табл.5, находим четвертый путь l5 = (x1, х4, х8, х9) и расставляем знаки.

2. Пропускная способность пути l5



Изменим пропускные способности помеченных дуг на С5 в табл.6.


Таблица 6


x1

x2 (1)

x3 (1)

x4 (1)

x5 (2)

x6 (3)

x7 (4)

x8 (5)

x9

x1


1

2

0






x2

6



8

3



0


x3

7



5


5

0



x4

4

0

0




7

0


x5


0






2


x6



3




5


0

x7



4

2


0


7

0

x8


6


2

0


0


0

x9






3

6

8



Шестой шаг. Просматривая строки и помечая столбцы, убеждаемся в том, больше не существует ни одного пути с положительной пропускной способностью из вершины x1 в вершину x9. Подмножество R образуют помеченные вершины х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, а подмножество - одна непомеченная вершины х9. Разрез с минимальной пропускной способностью образуют дуги, начальные вершины которых принадлежат подмножеству R, а конечные - . Таким образом, разрез с минимальной пропускной способностью . Удалив дуги этого разреза, блокируем все пути из источника в сток. Пропускная способность разреза



Заключительный шаг. Вычитая из элементов табл.1 соответствующие элементы табл.6, получим табл.7


Таблица 7.


x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x1


6

7

4






x2

-6



0

0



6


x3

-7



0


3

4



x4

-4

0

0




2

2


x5


0






0


x6



-3




0


3

x7



4

2


0


0

6

x8


-6


-2

0


0


8

x9






-3

-6

-8



Величина максимального потока равна сумме элементов x1-й строки табл.7 или сумме элементов x9-го столбца.

Максимальный поток равен .


Задача 3. Анализ сетей Петри


Сеть Петри задана графически (рис.23…30). В табл.1 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети.

Выполнить следующие действия:

Описать сеть аналитическим и матричным способами.

Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований.

Построить дерево достижимости заданной сети.

Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.


Таблица 1

варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0

1

0

1

1

1

1

2

2

0

1

3

0

1

1

2

1

2

2

2

3

1

2

2

1

2

3

1

1

2

0

3

2

3

1

0

1

1

1

3

2

1

0

1

2

3

3

4

3

1

3

4

0

2

1

1

0

1

1

2

1

1

2

5

1

2

5

1

2

2

3

0

3

3

2

0

3

2

1

рисунка

Рис.23

Рис.27

Рис.28

Рис.29



Решение:

Опишем сеть аналитическим и матричным способами. Приведем графическое представление сети Петри, в которой позиции P = {p1, p2, p3, p4, p5} и переходы T = {t1, t2, t3 , t4 }.

Начальная маркировка сети обозначается вектором μ012345], μ0 [1 3 0 1 2]. Отсюда получим:

При аналитическом способе задания сеть Петри задается как C = (P,T,F,H,μ0), где, кроме множеств позиций Р и переходов Т, задаются входная F и выходная Н функции.

Через F (tj) обозначается множество входных позиций, а через H (tj) - множество выходных позиций перехода tj; μ0 - начальная маркировка сети.


F (t1) = {p5},H (t1) = {p1, p2 },

F (t2) = {p1},H (t2) = {p3, p4},

F (t3) = {p3, p4}H (t3) = {p1 },

F (t4) = {p2, p3, p4}H (t4) = {p5 }.

μ0 [1 3 0 1 2]


Матричная форма определения сети Петри эквивалентна аналитическому способу задания C = (P,T,D-,D+0). Здесь D- и D+ - матрицы входных и выходных инциденций соответственно размером m × n, где m - число переходов и n - число позиций.

Элемент dij- матрицы D- равен кратности дуг, входящих в i-й переход из j-й позиции.

Элемент dij+ матрицы D+ равен кратности дуг, выходящих из i-ro перехода в j-ю позицию.

Для рассматриваемой сети Петри


Матрица D = D+ - D - называется матрицей инцидентности сети Петри,



2. При начальной маркировке μ0 [1 3 0 1 2] сети Петри разрешенными являются переходы t1 и t2.

Условия срабатывания для перехода t3 и t4 не выполняется.


Переход t1


0] ≥ [1000]* D- = [1000] · ; [1 3 0 1 2][00001]


условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t1 равна:


.


Переход t2


0] ≥ [0100]* D- = [0100] ·;[1 3 0 1 2][10000]


условие выполняется, переход разрешен.

Новая маркировка при срабатывании перехода t2 равна:


.


Переход t3


0] ≥ [0010]* D- = [0010] ·;[1 3 0 1 2][00110] - условие не


выполняется, переход запрещен.


Переход t4


0] ≥ [0001]* D- = [0001] ·;[1 3 0 1 2][01110]


условие не выполняется, переход запрещен.


Построим дерево достижимости заданной сети.



Проверим, является ли достижимой одна из маркировок, полученных на пятом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.

Уравнение принимает вид



Перенесем в левую часть и выполним умножение, тогда


.


Приравняем составляющие векторов



Система имеет решение x1 = 1; x2 = 2; x3 = 0; x4 = 2.

Это значит, что исследуемая маркировка достижима и в последовательности срабатываний переход t1 срабатывает один раз, переходы t2 и t4 - по два раза, переход t3 не срабатывает.


Задача 4. Элементы математической логики и теории автоматов


Конечный автомат задан графом, определенным в задаче 1. Вершины графа отождествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q1, q2 ,, qn}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x1, x2, x3, x4}. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставить произвольно.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y1, y2, y3}:

y1 - переход из состояния qi в состояние qi (петля);

y2 - переход из состояния qi в qj при i;

y3 - переход из состояния qi в qj при i>j.

Осуществить структурный синтез конечного автомата. Реализацию осуществить на элементах, указанных в табл.1, в соответствии с номером варианта. Обязательной является минимизация реализуемых функций.


Таблица 1

варианта

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Тип

элементов

И

НЕ

И

ИЛИ

НЕ

И

НЕ

ИЛИ

НЕ

И

НЕ

И

ИЛИ

НЕ

И

НЕ

ИЛИ

НЕ

И

ИЛИ

НЕ

И

НЕ

Тип

триггера

D

JK

T

D

RS

RSD

D

JK

T

D


Решение:

Множество вершин X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6},

Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = {q1, q2, q3, q4, q5, q6}. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X={x1, x2, x3, x4}.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y={y1, y2, y3}.

На основании аналитического описания ориентированного графа из задания № 1 запишем закон отображения состояний автомата:


Гq1 = {q1 (x1/y1), q3 (x2/y2), q2 (x3/y2)},

Гq2 = {q4 (x3/y2), q1 (x4/y3), q3 (x1/y2)},

Гq3 = {q1 (x1/y3), q5 (x2/y2), q2 (x3/y3), q4 (x4/y2)},

Гq4 = {q2 (x1/y3), q6 (x2/y2), q3 (x3/y3), q5 (x4/y2)},

Гq5 = {q3 (x4/y3), q4 (x1/y3), q6 (x2/y2)}, Гq6 = {q4 (x3/y3), q5 (x4/y3)}.


Обобщенная таблица переходов и выходов соответствующего конечного автомата представлена в табл.2.


Таблица 2

X

Q

q1

q2

q3

q4

q5

q6

X1

q1/y1

q3/y2

q1/y3

q2/y3

q4/y3

X2

q3/y2

q5/y2

q6/y2

q6/y2

X3

q2/y2

q4/y2

q2/y3

q3/y3

q4/y3

X4

q1/y3

q4/y2

q5/y2

q3/y3

q5/y3


Осуществим структурный синтез автомата, заданного табл.1. В качестве элементов памяти используем D-триггеры, в качестве элементной базы используем логические элементы И-НЕ.

Количество букв входного алфавита n = 4

Количество входовp ≥ log2 n = log2 4 = 2;

Количество букв выходного алфавита m = 2

Количество выходовe ≥ log2 m = log2 3 = 2;

Количество состояний r = 6

Количество триггеровz ≥ log2 r = log2 6 = 3.

Приступаем к кодированию:


x

u

u1

u2

x1

1

0

5

x2

1

1

4

x3

0

0

5

x4

0

1

5



v1

v2

y1

1

0

1

y2

0

1

9

y3

0

0

9



q

w


w1

w2

w3

q1

0

0

1

3

q2

0

1

0

3

q3

0

0

0

4

q4

1

0

0

4

q5

0

1

1

3

q6

1

1

0

2


На основании результатов кодирования строим обобщенную таблицу переходов и выходов структурного автомата (табл.3), заменяя состояния, входные и выходные переменные их кодами.


Таблица 3


u1u2

w1w2w3


001

010

000

100

011

110

10

001/10

000/01

001/00

010/00

100/00

11

000/01

011/01

110/01

110/01

00

010/01

100/01

010/00

000/00

100/00

01

001/00

100/01

011/01

000/00

011/00


Используя таблицу переходов D-триггера и данные предыдущей таблицы, составим обобщенную таблицу функционирования структурного автомата (табл.4). Функции возбуждения трех триггеров обозначены через D1, D2, D3, соответственно.


Таблица 4

u1

u2

w1 (t)

w2 (t)

w3 (t)

w1

(t+1)

w2

(t+1)

w3

(t+1)

v1

v2

D1

D2

D3

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

1

*

*

*

*

*

*

*

*

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

*

*

*

*

*

*

*

*

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

*

*

*

*

*

*

*

*

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

*

*

*

*

*

*

*

*

1

1

1

1

0

*

*

*

*

*

*

*

*

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1


По этой таблице запишем СДНФ выходных функций V и функций возбуждения триггеров D1, D2, и D3, зависящих от набора переменных u1, u2, w1 (t), w2 (t), w3 (t). В результате получим систему логических функций для построения комбинационной части автомата:


.

.

.

.

.


Минимизируем функции согласно картам Карно: