Математическая статистика (85743)

Посмотреть архив целиком

СОДЕРЖАНИЕ


Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Литература



Задание 1. Исследовать сходимость рядов:


а)


Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера



Ряд сходится.


б) 


Решение:

Для исследования этого ряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:


p ===

== =5


Так как показатель Коши ряда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.


Задание 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:



Решение:

Рассмотрим ряд из модулей:



Сравним его с рядом 

Мы сможем это сделать согласно признаку сравнения:



Ряд  исследуем при помощи интегрального признака:



т.е. ряд  расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теореме Лейбница


|= 

Задание 3. Найти область сходимости ряда:



Решение:

Найдем интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :



Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:



Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором



Следовательно, полученный ряд расходится.



Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:



Значит, полученный ряд сходится.

Областью сходимости заданного ряда является промежуток .


Задание 4. Вычислить с точностью


ε = 0,001  .


Решение:

Так как 83 является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520 представить в виде суммы двух слагаемых:


520 = 83 + 8.


Тогда


 =  = 8 = 8(1+0,001562)1/3 =

=8 =

= 8+ 0,0416-0,0002272+…

Третий член уже меньше чем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,


  8 + 0,0416  8,0416


Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего следующему начальному условию:



Решение:

Воспользуемся разложением



Так как по условию х = 0, то будем иметь



Найдем коэффициенты при х:


;

, .

Подставляя найденные значения в формулу, получим




Задание 6. Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.


Решение:

Определимся с событием:

А – среди выбранных 4 билетов 2 выигрышных.

Вероятность этого события:

Число всех элементарных исходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числу сочетаний:



Число элементарных исходов т, благоприятствующих событию А :



Тогда, искомая вероятность равна:




Задание 7. В двух партиях 38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное?


Решение:

Определимся с событиями:

А1 – выбор доброкачественного изделия из первой партии,

выбор бракованного изделия из первой партии,

А2 – выбор доброкачественного изделия из второй партии,

выбор бракованного изделия из второй партии.

Тогда


.


а) А – хотя бы одно изделие бракованное.



б) В – оба изделия бракованные.


.


в) С – одно изделие доброкачественное и одно изделие бракованное.



.


Задание 9. Из 1000 ламп пi принадлежит i-ой партии, i = 1, 2, 3, В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.



Решение:

Так как , то



Определимся с событиями:

А – выбрана бракованная лампа;

выбрана лампа i-ой партии, i = 1,2,3.

Найдем вероятности событий Вi :


п = 90 + 690 + 220 = 1000 ,


Найдем вероятности события А при условии, что события Bi ( i = 1,2,3 ) наступили, т.е. найдем вероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой, 2-ой, 3-ей партий :




По формуле полной вероятности найдем искомую вероятность:



Задание 9. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет тi % изделий ( i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода ni % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-ым заводом.


.


Решение:

Определимся с событиями:

А – купленное изделие первосортное;

изделие выпущено i-ым заводом, .

Запишем вероятности событий Вi :



Запишем условные вероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное при условии, что оно выпущено i-ым заводом:



Вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формуле Бейеса:



Задание 10. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р = 0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:



k1 = 75;

k2 = 90

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа :



где Ф(х) – функция Лапласа,



Найдем х1 и х2 :




Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , получим


.


По таблице найдем :



Искомая вероятность



Задание 12. Дискретная случайная величина Х принимает только два значения х1 и х2 , причем . Известна вероятность р1 = 0,7 возможного значения х1, математическое ожидание М(Х ) = 1,3 и дисперсия D(X ) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.


Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х2 равна


р2 = 1 – р1 = 1 – 0,7 = 0,3.


Запишем закон распределения ДСВ Х :


Х

х1

х2

р

0,7

0,3


Для нахождения значений х1 и х2 составим систему уравнений и решим ее:

или ;

или

7x12+  =19 (x 3)

70x12-182x1+112 = 0


По условию задачи . Следовательно, задаче удовлетворяет только решение , и искомый закон распределения будет иметь вид:


Х

1

2

р

0,7

0,3



Задание 12. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Требуется найти:

а) функцию плотности распределения ;

б) математическое ожидание ;

в) дисперсию ;

г) среднее квадратическое отклонение .

Построить графики функций и .



Решение:

а) Найдем функцию плотности распределения НСВ Х :



б) Найдем математическое ожидание НСВ Х :



в) Найдем дисперсию НСВ Х :


г) Найдем среднее квадратическое отклонение НСВ Х :



График функции распределения:



График функции плотности распределения:




Задание 13. Задано статистическое распределение выборки. Требуется:

а) найти распределение относительных частот;

б) построить полигон относительных частот;

в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности.


xi

1

3

4

6

7

ni

20

10

14

6

10



Решение:


а) Найдем объем выборки:



Относительные частоты определяем по формуле :



Запишем распределение относительных частот :

xi

1

3

4

6

7

wi

0,33

0,17

0,23

0,1

0,17


Контроль:



б) Построим полигон относительных частот:



Случайные файлы

Файл
123733.rtf
13843.rtf
63840.rtf
2560.rtf
185624.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.