Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры (85710)

Посмотреть архив целиком















Контрольная работа

Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры


Векторная алгебра


Вариант №21


  1. Найти скалярное произведение .



  1. При каком значении α векторы и ортогональны?


;;;

;;;


Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.



  1. Для прямой М1М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1(0,-3) М2(2,1).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:


y-y1=k(x-x1),


значит для прямой М1М2


у+3=kx


Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:


,


значит для прямой М1М2



Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:


,


Здесь



Уравнения прямой в отрезках для прямой М1М2


;


  1. В треугольнике М0М1М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1М2.(М0(-1,-2); М1(0,-3); М2(2,1)).

Найдём координаты точки М3, координаты середины стороны М1М2:



уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:


,


уравнение для высоты М0М3:


Найдём уравнение прямой М1М2:



Из условия перпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:


y-y1=k(x-x1),


тогда уравнение для высоты примет вид:


y+1= (x+2)/2


или


x+2y=0.


Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:


Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2, уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):



Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).

Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).

Уравнение прямой EF:


y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.


  1. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).


(1)


Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))


(2)


Подставим (2) в (1), получим



кривая второго порядка является эллипсом.


F1(c;0); F2(-c;0).

т.к.

Координаты центра: O’(-3,-1).


  1. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.


1)

2)


Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:



Линейная алгебра


Матрицы


Ответы на вопросы


  1. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .


  1. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: .

Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:



  1. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

  1. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

  2. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.


Задача 1.




X4-свободная переменная

r = 3

система совместима.


Задача 2



т.к. detA0, то матрица является невырожденной.

А11=3;А12= -1;А13= -10;А21=0;А22=0;А23= -1;А31=0;А32= -1;А33= -1.


;

.

.

.


5. Найти скалярное произведение .



  1. При каком значении α векторы и ортогональны?


;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.


  1. Для прямой М1М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1(2,-2) М2(1,0).


Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:


y-y1=k(x-x1),


значит для прямой М1М2


у+2=k(x-2)


Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:


,


значит для прямой М1М2



Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:


,


здесь


Уравнения прямой в отрезках для прямой М1М2


;


y=-2x+2









  1. В треугольнике М0М1М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0, а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1М2.(М0(-3,-5); М1(2,-2); М2(1,0)).

Найдём координаты точки М3, координаты середины стороны М1М2:



уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:


,


уравнение для высоты М0М3:



Найдём уравнение прямой М1М2:



Из условия перпендикулярности (k2=-1/k1) следует, что k2=-1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y1=k(x-x1),


тогда уравнение для высоты примет вид:


y+5= -(x+3)/2


или


x+2y+13=0.


Расстояние от точки М(x0,y0) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:



Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0(-3,-5) до прямойМ1М2, уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):



Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).

Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).

Уравнение прямой EF:

y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.

  1. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).


(1)


Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))


(2)


Подставим (2) в (1), получим



кривая второго порядка является эллипсом.


F1(c;0); F2(-c;0).


т.к.


Координаты центра: O’(-2,2).



  1. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.


1)

2)


Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:


Ответы на вопросы

  1. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

  1. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:


.


Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:



  1. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

  1. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

  2. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.