Интегралы. Функции переменных (85641)

Посмотреть архив целиком

Вариант 2


  1. Вычислить интегралы



Преобразуем подынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:



Найдем А и В:



Отсюда видно что А и В являются решением системы:



Решим эту систему и найдем А и В:



Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.


с помощью замены переменных


Введем и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:



Возвращаемся к x:



Теперь вычисляем определенный интеграл:



Итак,


3. методом интегрирования по частям


Итак,


II. Функции многих переменных

1. Найти частные производные 1-го порядка



2. Исследовать на экстремум функцию



Найдем частные производные



Найдем все стационарные точки функции, точки в которых должны выполняться условия: ,



Это равносильно следующему:



Вторая система не имеет вещественного корня


t= 0 t=1

y=1 y=-1


x=1


M0(0;0) и M1(1;1) – стационарные точки данной функции.

Теперь определим характер этих стационарных точек.

Найдем частные производные второго порядка этой функции.



В точке M0(0;0):



Так как <0, то экстремума в точке M0(0;0) нет.

В точке M1(1;1):



Так как >0,A>0,C>0 то точка M1(1;1) это точка экстремума,

Причем этот экстремум-минимум.


III. Решить дифференциальные уравнения.

1. Решить уравнение с разделяющимися переменными


Интегрируем правую и левую части уравнения:



После некоторых преобразований выражаем решение уравнения:



2. Решить линейное уравнение 1-го порядка



Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций:

При этом:



После подстановки в исходное уравнение имеем:



Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющую уравнению:



Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:


:


Решение запишется в виде:


3


Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:

, где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение.

Найдем

Решим однородное дифференциальное уравнение



Характеристическое уравнение для него:



Это квадратное уравнение


d=36-100=-64 – дискриминант отрицательный, корни комплексные:

k1=3-4i ; k2=3+4i


Общее решение, следовательно, имеет вид:


,


где - константы.

Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:


, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25


При этом , следовательно, частное решение ищем в виде:



Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:



Для нахождения коэффициентов А и В решим систему:


A=0,07, B=0,16


Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:



IV. Ряды

  1. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами



Рассмотрим ряд:



Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.

Теперь сравним члены ряда с членами ряда


при n>4 , значит ряд

также сходится.


  1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:



Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.


,


Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:


, следовательно наш ряд расходится абсолютно.


Исследуем ряд на условную сходимость:

Так как условия признака Лейбница выполнены



данный ряд сходится условно.

3. Найти область сходимости функционального ряда


, перепишем его в виде:


Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.

Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда определяется сходимостью степенного ряда: , причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.

Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:



Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда :



Итак, область сходимости функционального ряда :



Случайные файлы

Файл
55280.rtf
21874-1.rtf
71002-1.rtf
131505.rtf
130162.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.