Дифференциальное исчисление функций (85582)

Посмотреть архив целиком

11



Содержание


1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

3. Интегральное исчисление функции одного переменного



1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного


1. Вычислить предел: .


Решение.

При имеем



Следовательно,



2. Найти асимптоты функции: .

Решение.

Очевидно, что функция не определена при .

Отсюда получаем, что



Следовательно, – вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.



Следовательно, – наклонная асимптота при .


3. Определить глобальные экстремумы: при .


Решение.

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .


.


А затем находим критические точки.



Теперь найдем значение функции на концах отрезка.


.


Сравниваем значения и получаем:



4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .


Решение.

Сначала находим .

.

Затем находим критические точки.


x

3

0

0

+

0

+

убывает

min

возрастает

возрастает

возрастает


Отсюда следует, что функция

возрастает при ,

убывает при .

Точка – локальный минимум.



5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .


Решение

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.


.

.

.



x

2

1

0

0

+

вогнутая

перегиб

выпуклая

перегиб

вогнутая


Отсюда следует, что функция

выпуклая при ,

вогнутая при .

Точки , – точки перегиба.



2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»


1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .


Решение.

1) Область определения функции


.


2) Функция не является четной или нечетной, так как


.


3) Теперь найдем точки пересечения с осями:


а) с оx: , б) с oy .


4) Теперь найдем асимптоты.


а)


А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты



Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

5) Теперь найдем критические точки


не существует при .


6)

не существует при


x

0

2

4

+

0

Не сущ.

0

+

Не сущ.

+

+

+

y

возрастает

выпуклая

max

убывает

выпуклая

не сущ.

убывает

вогнутая

min

возрастает

вогнутая


Построим эскиз графика функции



2. Найти локальные экстремумы функции .


Решение.

Сначала найдем частные производные



Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.



То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.

Далее проведем исследование этой точки.

Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка



Для точки :


.


Следовательно, точка не является точкой экстремума.

Это означает, что точек экстремума у функции


нет.


3. Определить экстремумы функции , если .


Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа


.


И исследуем ее



(Учитываем, что по условию )



То есть мы получили четыре критические точки.

В силу условия нам подходит только первая .

Исследуем эту точку.

Вычислим частные производные второго порядка:



Отсюда получаем, что


Теперь продифференцируем уравнение связи

.

Для точки

Далее получаем



То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.

Следовательно, – точка условного локального максимума.


.



3. Интегральное исчисление функции одного переменного


1–3. Найти неопределенный интеграл


1. .


Решение.


.


2. .


Решение.


.


3.


Решение.

.


4. Вычислить .


Решение.

.


5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми


.


Решение.



.



Случайные файлы

Файл
73879.rtf
144376.rtf
123779.rtf
2171.rtf
25285.rtf