Сетевое планирование (82199)

Посмотреть архив целиком


Содержание


Сетевое планирование и управление

Исходные данные для оптимизации загрузки

Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой



Сетевое планирование и управление


Построить сетевую модель, рассчитать временные параметры событий (на рисунке) и работ (в таблице);

Определить критические пути модели;

Оптимизировать сетевую модель по критерию “минимум исполнителей” (указать какие работы надо сдвигать и на сколько дней, внесенные изменения показать на графиках привязки и загрузки пунктирной линией).


Название работы

Нормальная длительность

Количество исполнителей

Вариант 8 (N=11 человек)

C, D, E - исходные работы проекта, которые могут начинаться одновременно;

Работа А следует за С, работа F начинается сразу после окончания работы А;

Работа G следует за F;

Работа В следует за D, а работы I и J следуют за В;

Работа H следует J и Е, но не может начаться, пока не завершена работа G.

A

9

8

B

10

3

C

6

6

D

5

4

E

16

5

F

12

2

G

14

1

H

15

3

I

11

5

J

3

7


На рисунке 1 представлена сетевая модель, соответствующая данному упорядочению работ. Каждому событию присвоен номер, что позволяет в дальнейшем использовать не названия работ, а их коды (см. табл.1). Численные значения временных параметров работ сети представлены в табл.2.


Таблица 1

Описание сетевой модели с помощью кодирования работ

Номера событий

Код работы

Продолжительность работы

начального

конечного

1

2

(1,2)

6

1

3

(1,3)

5

1

7

(1,7)

16

2

4

(2,4)

9

3

5

(3,5)

10

4

6

(4,6)

12

5

6

(5,6)

11

5

7

(5,7)

3

6

7

(6,7)

14

7

8

(7,8)

15


A F

9 12

C

6 I

D B 11

5 10 J 14 G

E 3 H

16 15


Рис.1 Сетевая модель


Таблица 2

Временные параметры работ

(i,j)

t (i,j)

TPH (i,j)

TPO (i,j)

TПН (i,j)

TПО (i,j)

RП (i,j)

RC (i,j)

(1,2)

6

0

6

0

6

0

0

(1,3)

5

0

5

1

6

1

0

(1,7)

16

0

16

25

41

25

0

(2,4)

9

6

15

6

15

0

0

(3,5)

10

5

15

6

16

1

1

(4,6)

12

15

27

15

27

0

0

(5,6)

11

15

26

16

27

1

1

(5,7)

3

15

18

38

41

23

23

(6,7)

14

27

41

27

41

0

0

(7,8)

15

41

56

41

56

0

0


Исходные данные для оптимизации загрузки


Таблица 3

Код работ

Продолжительность работ

Количество исполнителей

(1,2)

6

6

(1,3)

5

4

(1,7)

16

5

(2,4)

9

8

(3,5)

10

3

(4,6)

12

2

(5,6)

11

5

(5,7)

3

7

(6,7)

14

1

(7,8)

15

3


Допустим, что организация, выполняющая проект, имеет в распоряжении только N = 11 исполнителей. Но в соответствии с графиком загрузки (рис.2), в течение интервала времени с 3 по 16 день для выполнения проекта требуется работа одновременно 41, 39 и затем 40 человек. Таким образом, возникает необходимость снижения максимального количества одновременно занятых исполнителей с 41 до 15 человек.

Проанализируем возможность уменьшения загрузки (41 человек) в течение 5 дня. Используя Rc (5,6) = 5, сдвинем работу (5,7) на 1 день, что снизит загрузку 5-го дня до 2 человек, но при этом в 11 день появится пик - 42 исполнителя. Для его устранения достаточно сдвинуть работу (6,7) на 1 день, используя Rc (6,7) = 1.


15 16

14 12

11 10

9


3 6

7,8 3

6,7 1

5,7 7

5,6 5

4,6 2

3,5 3

2,4 8

1,7 5

1,3 4

1,2 6

Рис.2 Графики загрузки (а) и привязки (b) до оптимизации.


Проанализируем возможность уменьшения загрузки (38 человек) с 7-го по 12 день, т.е. в течение интервала времени в 6 дней. Так работа (2,4) является единственной, которую можно сдвинуть таким образом, чтобы она не выполнялась в указанные 6 дней с 7-го по 12 день. Для этого, используя Rп (2,4) = 8, сдвинем работу Tу (i,j) на 4 дня, после чего она будет начинаться уже не в 6-й, а в 10 день, к чему мы и стремились. Но поскольку Rс (2,4) = 0 и для сдвига работы Tн (i,j) был использован полный резерв, то это влечет за собой обязательный сдвиг на 7 дней работы (6,7), следующей за работой (2,4).

В результате произведенных сдвигов максимальная загрузка сетевой модели уменьшилась с 41 до 15 человек, что и являлось целью проводимой оптимизации. Окончательные изменения в графиках привязки и загрузки показаны на рис.3 пунктирной линией.

Проведенная оптимизация продемонстрировала следующее различие использования свободных и полных резервов работ. Так, сдвиг работы на время в пределах ее свободного резерва не меняет моменты начала последующих за ней работ. В тоже время сдвиг работы на время, которое находится в пределах ее полного резерва, но при этом превышает ее свободный резерв, влечет сдвиг последующих за ней работ.


15 16

14 12

11 10

9


3 6

7,8 3

6,7 1

5,7 7

5,6 5

4,6 2

3,5 3

2,4 8

1,7 5

1,3 4

1,2 6


Рис.3 Графики загрузки (а) и привязки (b) после оптимизации.


Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой


Определите оптимальные стратегии и цену игры. Для 1) - в чистых стратегиях, для 2) - в смешанных.


1) 2)


Таблица 5


B1

B2

B3

B4

A1

1

3

4

1

1

A2

5

6

9

1

1

A3

2

8

4

3

2

5

8

9

3


Решение

Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец и строка (табл.1). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец : а1 = 1; а2 = 1; а3 = 2 - минимальные числа в строках 1, 2,3. Аналогично = 5; = 8; = 9; = 3 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры , (1; 1;

2) = 2 (наибольшее число в столбце ) и верхняя цена игры , (5; 8; 9;

3) = 3 (наименьшее число в строке ). Эти значения не равны, т.е. , и, так как они достигаются ни на одной и той же паре стратегий, то игра седловой точки не имеет. И, так как игра седловой точки не имеет, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение случайным образом чередуя чистые стратегии. Пусть игра задана платежной матрицей



Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию


,


а игрок В чистую стратегию В1 (это соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v:



Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В2, т.е.


.


Учитывая, что получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S*A и цены игры v:



Решая эту систему, получим оптимальную стратегию



и цену игры



Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е.



Тогда оптимальная стратегия () определяется формулами:



Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной выше. Игра задана платежной матрицей без седловой точки:



Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях: для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при В1 и В2) для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при А1 и А2). Системы уравнений приведенные выше в данном случае имеют вид:


Решая эти системы, получаем v = 0.

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью -3 и 4 при этом средний выигрыш равен 0.

Оптимальное решение игры двух лиц с нулевой суммой.

Определите оптимальные стратегии и цену игры. Для 1) - в чистых стратегиях, для 2) - в смешанных.


1) 2)


Таблица 5


B1

B2

B3

B4

A1

2

3

4

2

2

A2

3

5

2

4

2

A3

2

5

4

6

2

3

5

4

6


Решение.

Все расчеты удобно проводить в таблице, к которой, кроме матрицы Р, введены столбец и строка (табл.1). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец : а1 = 2; а2 = 2; а3 = 2 - минимальные числа в строках 1, 2,3. Аналогично = 3; = 5; = 4; = 6 - максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры , (2; 2;

2) = 2 (наибольшее число в столбце ) и верхняя цена игры , (3; 5; 4;

6) = 3 (наименьшее число в строке ). Эти значения не равны, т.е. , и, так как они достигаются ни на одной и той же паре стратегий, то игра седловой точки не имеет.

И, так как игра седловой точки не имеет, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение случайным образом чередуя чистые стратегии.

Пусть игра задана платежной матрицей



Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию


,


а игрок В чистую стратегию В1 (это соответствует первому столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v:



Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В2, т.е.

.


Учитывая, что получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S*A и цены игры v:



Решая эту систему, получим оптимальную стратегию



и цену игры



Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е.



Тогда оптимальная стратегия () определяется формулами:



Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной выше.

Игра задана платежной матрицей без седловой точки:



Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях: для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при В1 и В2) для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при А1 и А2). Системы уравнений приведенные выше в данном случае имеют вид:



Решая эти системы, получаем v = 0.

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью -1 и 2 при этом средний выигрыш равен 0.



Случайные файлы

Файл
32406.rtf
115669.rtf
22400.rtf
69737.rtf
471.doc