Решение математической задачи с помощью математических исследований и помощью специального офисного приложения MS Excel (48815)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Введение

1. Условие задачи

2. Математическая модель задачи

3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel

Выводы

Используемая литература


Введение


В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один – это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй – с помощью специального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:

- составить математическую модель задачи,

- определить исследуемую функцию, зависящую от одной переменной,

- построить график заданной функции с помощью графического редактора MS Excel,

- исследовать функцию по общей схеме, найти критические точки,

- найти решение задачи,

- сделать вывод, сравнить полученные результаты.


1. Условие задачи


Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса r.

Поясним, данную задачу графически:


ABС – конус

О – центр, вписанного шара в конус

OН=OК – радиус вписанного шара

ВН – высота конуса


2. Математическая модель задачи


Введем необходимые обозначения и составим исходную функцию, зависящую от одной переменной.

Пусть BH=x, OH=r, BO=OC=x-r. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH:



Теперь, воспользуюсь формулой нахождения объема конуса, составим функцию, зависящую от одной переменной х – высота конуса.

Объем конуса будет вычисляться по следующей формуле:



Исследуем функцию вида:



3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек


Воспользуемся общей схемой исследования функции.



1. Найти область определения

Функция существует для всех положительных значений х, также подкоренное выражение должно быть положительным. Решим неравенство:



2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

В нашем случае это невозможно, т.к. все параметры конуса числа положительные, т.е. точек пересечения с осями координат данная функция не имеет.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ).

при любом значении из области определения функции

4. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида.

Функция является четной функцией, т.к.


,


но для данной области определения является функцией общего вида.

5. Найдите асимптоты графика функции.

Функция не имеет вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

6. Найдите интервалы монотонности функции (проверить функцию на выпуклость и вогнутость, используя первую производную)

Для этого найдем первую производную от заданной функции:



Решим уравнение вида:



Получим, что при функция меняется, т.е. на промежутке функция монотонно убывает, а на монотонно возрастает.

7. Найти экстремумы функции.

Из пункта 6 следует, что точка максимума.

Найдем точки, в которых функция не существует:



Найдем значение функции в точке, где функция не существует, в точке экстремума и на концах промежутка области определения:



Таким образом, получим, что при высоте конуса конус имеет наименьший объем, равный


.


4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel


Для построения графика необходимо составить таблицу значений переменной и функции. Воспользуемся приложением MS Excel:


















радиус вписанной окружности r=









2






















h=

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

5

5,1

5,2

5,3

Vкон=

5,5

5,353158

5,268761

5,225578

5,2111

5,217492

5,239506

5,273554

5,317067












На основании значений таблицы строим график заданной функции:




Найдем максимальное и минимальное значения на области определения. Для этого воспользуемся сортировкой.



максимум

5,5



минимум

5,211111




Как мы видим, функция достигает минимума V=5,2111 при значении х=4,9.

Решим задачу, пользуясь надстройкой «поиск решения». Выполним следующие действия:

Введем в любую ячейку целевую функцию



2. В меню Сервис выберем команду Поиск решения.

В появившемся окне уже установлена целевая ячейка.

Отмечаем флажок в поле «равной» на «минимальному значению», т.к. наша функция стремится к минимуму.

В поле «Изменяя ячейки» выбираем любую, пустую ячейку.

Нажимаем кнопку «выполнить», не меняя других параметров.