Алгоритмы численного решения задач (46771)

Посмотреть архив целиком

Решить графоаналитическим методом.


Задача 1


max  (X) = - 2x1 + x2 + 5x3

при 4x1 + 2x2 + 5x3  12

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18

3x1 + 3x2 - 2x3  16

Х ≥ 0


Здесь число n = 3 и число m = 3.

Выразим из ограничений и х3:


0


Подставим его в целевую функцию


max  (X) =


Получим новые ограничения:


х ≥ 0


Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2

Вычисляем градиент :


= =


A

C

D

E

х2=2х1-6

х 2=6-2х1

х2=

х2=2х1-4,7

Рисунок 1


Прямые a, c, d и e пересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max φ (Х), который удовлетворяет условию Х>=0:

Это точка D (0,7; 4,7; 0).

Функция φ*) в точке D:

φ*) = 38,3

Найти экстремумы методом множителей Лагранжа


Задача 2


extr φ (X) = 4x1 - x22 - 12

при x12 + x22 = 25


Составим функцию Лагранжа:


L (X,λ) = 4x1 - x22 - 12 + λ (x12 + x22 - 25)

h (X) = x12 + x22 - 25 = 0 - функция ограничения.


Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.



Решим данную систему уравнений:


2x2 (λ - 1) = 0


Предположим, что x2 ≠ 0, тогда λ = 1 подставим в первое уравнение системы.


4 - 2x1 = 0

2x1 = - 4

x1 = 2


Подставим x1 в третье уравнение системы.


4 +x22 - 25 = 0

x22 - 21 = 0

x22 = 21

x2 = ±4,5826


Параболоид вращения функции h (x).



В двухмерной проекции график выглядит так:


А1

А2

Рисунок 2.


На рис.2 видно, что в точках А1 и А2 функция φ (X) = h (X). В этих точках функция φ (X) равна минимальному значению.


(X**)

N

X1*

X2*

λ*

φ (X*)

Примечание

1

2

4,5826

1

-24,25

Min

2

2

-4,5826

1

-24,25

Min


Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера.


Задача 3


extr φ (X) = 9 (x1 - 5) 2 + 4 (x2 - 6) 2 =

при 3x1 + 2x2 >= 12

x1 - x2 <= 6


Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа.


L (X,λ) = + λ1 (3x1 + 2x2 - 12) + λ2 (x1 - x2 - 6) =


Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.



Решим систему уравнений.

1) Предположим, что λ2 ≠ 0, тогда из уравнения (d) получим


x2 = х1 - 6


Пусть λ1 = 0 и x1 ≠ 0, тогда из уравнения (а) получим


18x1 - 90 - λ2 = 0, λ2 = 18х1 - 90


Пусть x2 ≠ 0, тогда из уравнения (b) получим


8x2 - 48 - λ2 = 0


Подставив в уравнение выражения для x2 и λ2, получим


x1 = 4

x2 = - 2

x1* = 4; x2* = - 2; φ (Х) * = 265


Трехмерный график целевой функции для данной задачи



Двухмерная проекция


a(x)

φ(x)

А

b(x)

Рисунок 3


На рис.3 видно, что в точке А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции.

В этой точке функция φ (X) равна максимальному значению.

2) Предположим, что λ2 = 0 и x2 ≠ 0, тогда из уравнения (b) получим


8x2 - 48 + 2λ1 = 0

x2 =

x2 = 6 -


Предположим, что x1 ≠ 0, тогда из уравнения (а) выразим x1.


18х1 - 90 + 3λ1 = 0

18 = 90 -1

х1 =

х1 = 5 -


Подставим выражения для x1 и x2 в уравнение (с) системы.


а) = 0, x1 = 5; x2 = 6

б) = 15

x1 = 2,5; x2 = 2,25


Подставив корни x1 = 5; x2 = 6 в целевую функцию получим φ (Х) = 0, а корни x1 = 2,5; x2 = 2,25 - получим φ (Х) = 112,49

Таким образом:


x1* = 5; x2* = 6; φ* (Х) = 0


На рис.4 видно, что в точке В функция φ (X) = a (X). В этой точке функция φ (X) равна минимальному значению.


В

φ(X)

a(X)

b(X)

Рисунок 4


X*

N

X1*

X2*

φ (X*)

Примечание

1

5

6

0

Min

2

4

-2

265

Max


Получить выражение вектор-функции и матрицы Якоби системы и составить алгоритм численного решения задачи на основе условий Куна-Таккера.


Задача 4


max φ (X) = - x12 - x22 +2х2

при x1 + x2 >= 18

x1 + 2 x2 >= 14

Х>=0


Найдем выражение вектор-функции системы.

Составим функцию Лагранжа.


L (X,λ) = - x12 - x22 + 2х2 + λ1 (x1 + x2 - 18) + λ2 (x1 + 2x2 - 14)


Вектор-функция системы:



Составим матрицу Якоби.



Составим алгоритм численного решения задачи:



Рисунок 5.



Случайные файлы

Файл
Dipmod.doc
143863.rtf
123885.rtf
73486-1.rtf
34913.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.