ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка (49459)

Посмотреть архив целиком

Министерство Топлива и Энергетики Украины


СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ



Практическое занятие №3

по дисциплине

«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»



Тема : ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ N-го ПОРЯДКА.



Вариант №8





Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В

Левицкий П.В.

Проверил:_______________________





Севастополь 2008


ПЛАН


1. Данные варианта задания.

2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка

2.1. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения:

  • при y(t) = 0 и заданных начальных условиях ;

  • при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;

  • при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;

  • при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;

2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом:

  • при y(t) = 0 и заданных начальных условиях;

  • при y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях;

  • при y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях;

  • при y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;



1. Данные варианта задания


ПРИЛОЖЕНИЕ №1

( к практическому занятию №3)

Дифференциальное уравнения 4-го порядка



Т а б л и ц а № 1

вар

Коэффициенты дифференциального

уравнения 4–го порядка

Правая часть уравнения и начальные условия

а0

а1

а2

а3

а4

b0

y(t) = 1(t)

x0(0) = 1

x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0

y(t) = cos(aּπּt)

x0(0) = -1

x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0

8

10

20

1.7

0.16

0.08

10


a = 0.35




2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка


2.1 Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения


2.1.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях

Дифференциальное уравнение 4-го порядка, описывающее динамические процессы электротехнической системы имеет вид:

Водим уравнение, пользуясь панелью «Исчисления» в Mathcad.



При заданных по условию значениях коэффициентов, уравнение примет вид:












Данное линейное дифференциальное уравнения 4-го порядка преобразуем

в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Обозначим:






Зададим вектор начальных значений:



СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численными методами.

  • rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,

  • Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

  • Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;

    • у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;

    • t0 — начальная точка расчета,

    • t1 — конечная точка расчета,

    • M — число шагов, на которых численный метод находит решение;

    • D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.

Таким образом, воспользуемся функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции rkfixed выглядит так:

Зададим интервал интегрирования t0 - t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий ic и правую часть дифференциального уравнения y(t):







Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений, соответствующую заданному дифференциальному уравнению 4-го порядка.



Применим функцию:





-Интервал времени.



-Значение искомой координаты.


Рисунок1. Матрица решений системы уравнений.


По этой таблице можно определять расчётные значения исходного вектора на заданном шаге.

Результаты численного решения дифференциального уравнения можно вывести в виде таблицы с прокруткой времени и искомой неизвестной (см файл в Mathcad). Согласно выбранному М получили 1500 строк.



Рисунок2. Результаты пошагового решения дифференциального уравнения, представленные в виде таблицы.


Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат представлено на рисунке 3. График изображён так, что можно проверить значения строки 1500. При Т=150, Х=4,563*10^130


Рисунок 3. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.


2.1.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

В этом случае необходимо изменить начальные условия и задать правую часть дифференциального уравнения.













Рисунок 4. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.


2.1.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

Изменим условия решения дифференциального уравнения. Зададим начальные условия для искомой переменной х0(0) = 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).См.таблицу1.


Рисунок 5. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях. х0(0) = 1


Зададим начальные условия для искомой переменной х0(0) =- 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).



Рисунок 6. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях х0(0) =- 1.


2.1.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях.

a = 0.35





Рисунок 7. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат.

При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35)._

При y(t) = cos(aּπּt) и ненулевых начальных условиях.

a = 0.35


Рисунок 8. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35; x0(0) = -1).


2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом.


2.2.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )

К дифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа при заданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомой переменной:

К линейные дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применим преобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторное дифференцирование- умножением на S^2 и т.д.



Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:



На рис. 9. показаны графики изменения переменной, полученных в результате решения заданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) и операторным методом (Н(t)).


Рисунок 9. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.


2.2.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

-Изображение по Лапласу y(t) = 1(t)


Рисунок10. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.


2.2.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.


Случайные файлы

Файл
50080.rtf
27072-1.rtf
24900.rtf
94911.rtf
182449.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.