Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью системы массового обслуживания (48051)

Посмотреть архив целиком














Лабораторная работа 4


Планирование машинного эксперимента с имитационной моделью системы массового обслуживания




1. Цель работы


Целью работы является:

1. Изучение методов планирования машинного эксперимента с моделью системы.

2. Приобретение практических навыков по оценке коэффициентов модели заданной функциональной зависимости

3. Проведение имитационного эксперимента в соответствии с построенным планом



2.Теоретические сведения


2.1 Планирование эксперимента


Эффективность машинных экспериментов с имитационными моделями систем массового обслуживания существенно зависят от выбора плана эксперимента, так как план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы и в целом влияет на эффективность использования ЭВМ при моделировании.

Планирование эксперимента – это средство построения математических моделей различных процессов, способ сокращения времени и средств, повышение производительности труда исследователя.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей хорошими статистическими свойствами.


Такой моделью является абстрактная схема типа «черного ящика» вида:


Y=F(x), (1)


Где Y={y1,y2…ym} - множество выходных переменных, называемых реакциями или откликами ( эндогенные переменные)

X={x1,x2,…xn}- множество переменных называемых факторами(экзогенные переменные)

F- функция, связывающая реакцию с факторами, называемая функцией реакции или отклика.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки характеристик процесса функционирования исследуемой системы необходимо создать также условия, которые способствовали бы выявлению факторов, влияющих на реакцию системы. Для этого необходимо, в первую очередь, установить область экспериментирования.

Локальная область эксперимента задается выбором комбинации основных уровней факторов xi( i= 1,n), их интервалами варьирования xi( i= 1,n) и центром эксперимента хi0( i= 1,n). Затем следует описать функциональную зависимость, оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

При классическом методе планирования опыта варьируется один фактор, а при математическом планировании эксперимента одновременно изменяются все факторы.

Одной из задач математического планирования эксперимента является получение модели описывающей реакции получаемой системы на много факторные экзогенные переменные. Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам статистического моделирования являются полиномиальные модели вида:


y= a0+aixi+aijxixj +aijkxixjxk+…… ( 2)


Для оценки коэффициентов данного уравнения используется метод множественной регрессии, оснований на методе наименьших квадратов.

После выбора модели планирования следующей задачей является планирование и проведение эксперимента.

Для планирования эксперимента составляется матрица планирования, в которой отражаются условия изменения уровней факторов xi( i= 1,n).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Количество всех возможных испытаний определяется по формуле:


N=qn (3 )


где q – число уровней изменения факторов.

n - число факторов

При q = 2 получается двухуровневый план эксперимента. Такой план называется планом N=2n. . Для получения данного плана необходимо все факторы варьировать на двух уровнях: нижнем xi0-∆xi и верхнем xi0+∆ xi, расположенных симметрично, относительно центра эксперимента. Для упрощения и унификации записи условий опытов и облегчения обработки данных используются кодированные значения: на нижнем уровне -1 и на верхнем уровне +1. Тогда условия эксперимента удобно представить в виде таблицы- матрицы планирования, в которой строки соответствуют различным опытам, а столбцы значениям факторов. Так, для трех факторов (n=3 ) матрица планирования примет вид (Таблица 1). При этом в таблице добавлены “фиктивные переменные” единичного столбца х0 и столбцов произведений х12, х13, х23 и х123, которые используются для оценки свободного члена а0 и эффектов взаимодействия а121323, а123.


Таблица 1

Матрица планирования

Номер опыта

Факторы

х0

х1

х2

х3

х12

х13

х23

х123

1

2

3

4

5

6

7

8

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

+1

+1

+1

-1

-1

+1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1

-1

+1

+1

+1

-1

-1

-1

-1

+1

+1

-1

+1

+1

-1

+1

-1

-1

+1



Как видно из таблицы, количество опытов равно N=23=8.

Рассматриваемый полный факторный эксперимент 2n обладает тремя основными свойствами:

  1. Симметричность относительно центра эксперимента. Это значит, что алгебраическая сумма элементов вектор – столбца для каждого фактора равна 0, т.е.


ij=0 (4 )


где i – номер фактора (i=1,n);

j – номер опыта (j=1,N ).

2. Условием нормировки, т.е. сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:


ij 2= N (i=1,n) (5 )


3.Ортогональностью, это означает, что сумма почленных произведений любых двух вектор- столбцов матрицы равна 0, т.е.


ij *хkj=0 (ik; i, k=1,n) (6 )


Данные свойства, особенно условие ортогональности, позволяют значительно упростить определение коэффициентов уравнения множественной регрессии. В этом случае оценки коэффициентов регрессионной модели можно вычислить по формуле:



ai=ij*yj /N (i=0,n) (7 )


А коэффициенты парных взаимодействий соответственно по формуле:


aik=ij*xkj*yj /N (ik; i, k=1,n) (8)


Количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возникает проблема сокращения числа опытов. В связи с этим используется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который представляет часть полного факторного эксперимента. Матрица планирования для дробного факторного эксперимента называется дробной репликой. Различают регулярные и нерегулярные дробные реплики.

Регулярные реплики образуются из ПФЭ 2n делением пополам, на четыре части, восемь частей ит.д., т.е. на число кратное 2. Они называются соответственно: полурепликой, четверть- репликой, - реплики и т.д.. ДФЭ обозначается как 2n-k, где

k – кратность деления ПФЭ 2n на части 2k. Например, ДФЭ типа 4-2 означает, что ПФЭ из N=24=16 делится на 22=4 и получается план эксперимента, состоящий из N=24-2=4 опытов.

Если регулярные реплики умножить на нечетные числа, больше единицы, то получаются нерегулярные реплики. Как например, реплики, реплики, реплики и т.д. являются нерегулярными.

Использование ДФЭ позволяет значительно сократить количество экспериментов и тем самым сэкономить ресурсы ЭВМ.

2.2 Пример планирования машинного эксперимента для модели СМО


Пусть необходимо провести машинный эксперимент по определению функциональной зависимости среднего времени ожидания заявки в очереди (ож) от факторов: интенсивность поступления заявок λ, интенсивности обслуживания μ и емкости буфера L для однофазной одноканальной системы массового обслуживания со следующими параметрами: интенсивность поступления заявок λ=155; интенсивность обслуживания μ=105; количество мест в очереди L=102.

Для определения заданной зависимости представим математическую модель системы в виде:


y= a0+a1x1+a2x2+a3x3, (9)

x1= λ ; x2= μ ; x3= L ; y=ож


Так как порядок модели n=3, то матрица планирования для полного факторного эксперимента примет вид (Таблица 2).


Таблица 2. Матрица планирования для модели СМО

Номер опыта

х0

х1

х2

х3

y

1

+1

-1

-1

-1


2

+1

+1

-1

-1


3

+1

-1

+1

-1


4

+1

+1

+1

-1


5

+1

-1

-1

+1


6

+1

+1

-1

+1


7

+1

-1

+1

+1


8

+1

+1

+1

+1



Случайные файлы

Файл
125496.rtf
83665.rtf
73447-1.rtf
178675.rtf
104345.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.