Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения (47629)

Посмотреть архив целиком

Министерство Образования Республики Таджикистан

Таджикский Технический Университет

имени М.С. Осими


Кафедра «АСОИиУ»







Лабораторная работа №1

На тему: Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения





Выполнила:

ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2


Принял: преподаватель кафедры

Ли И.Р.







Душанбе-2010


Лабораторная работа № 2

Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения


I Цель работы


Целью работы является:

  1. Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения

  2. Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения

  3. Проверка адекватности полученного датчика


II Теоретические сведения


1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения

При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x1,x2….xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси).

Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции RND (ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Требуется получить последовательность y1,y2,..yn независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения:


F(y)= P(ksiy) (1)


или плотностью вероятности


f(y)=F’(y) (2)


Функции f(y) и F(y) могут быть заданы графически или аналитически.

Для получения случайной величины η с функцией распределения F(y) из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1], используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:

- метод обратной функции

- метод отбора или исключения

- метод композиции.


2. Метод обратной функции

Если ζ- равномерно-распределенная на интервале [0,1] случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования:


η=F-1 (ζ) (3)


Где F-1 (ζ) - обратная функция по отношению к функции распределения F(ζ)


F(y)

1


ζ



0 η y

Рис 1 Функция распределения F(ζ)


Действительно, при таком определении случайной величины η имеем:


P(ηy)=P{F-1(ζ)y}=P{ ζ F(y) }= F(y) (4)


В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3), второе из неубывающего характера функций F(ζ) и F-1 (ζ) и третье из равномерного в интервале [0,1] распределения величин ζ.

Таким образом, если задана функция распределения F(y), то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.

Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический и графический.


3.Метод отбора или исключения

Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f(y). В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η представляет конечный отрезок (a,b), а плотность вероятности f(y) ограничена сверху значением fmax (Рис.7). Тогда область значений η* и ζ* можно ограничить ступенчатой кривой:

0, если y

g(y)= fmax, если a y b (25)

0, если y>b


Затем берутся с помощью генератора случайных чисел (RND(ζ)) два равномерно-распределенных числа ζ1 и ζ2 , по которым определяются равномерные на интервале [a,b] независимые величины:


η =a + (b-a)*ζ1

ζ’=fmax* ζ2 (26)


Где a,b – границы возможных значений случайной величины η,

fmax- максимальное значение функции f(y) (Рис.7)



f(y) g(y)


fmax



f(y)

ζ



a η b

Рис.7 Заданная плотность вероятности


Если ζ’ f (η ’) , то η принимается в качестве очередной реализации случайной величины η. В противном случае η отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ζ1 и ζ2 . Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности.


4. Метод композиции

Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности fη (x) по формуле полной вероятности:


fη (x)= (27)


Где H(z)=P(ζz)– интегральная функция распределения случайной величины ζ;

P(x/z )- условная плотность вероятности.

Переходя к дискретной форме, интеграл заменяется на сумму и тогда получаем


fη (x)=Pj*fj (x) (28)


где Pj=1 (29)

fj (x) -условная плотность вероятности


Таким образом, для любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x и кривой fη(x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей gj (i=1,k),с площадями Pj (j=1,k), (Рис.8)


Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке

fη(x)



g11)

g22) g33)

x


g11)




x


Рис. 9 Условные плотности

вероятности


g22)




x



g33)



x


Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9)

Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности.


5. Оценка закона распределения

Для полученной случайной последовательности y1, y2,…,yn с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y1, y2,…,yn строится статистическая функция распределения

F* (y) (Рис. 10). На этом же графике строится интегральная функция распределения F(y) для заданного закона распределения и производится сопоставление F*(y) и F(y). Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова. Для этого вычисляется статистика:


Ди=maxF*(y) - F(y) (30)


Для конечных решений и распределения статистики Ди получены пороговые значения в форме таблиц (Таблица 1.). По этой таблице для заданных объемов последовательности и и значению статистики Ди определяется уровень значимости .

Если гипотеза верна то статистика Ди* имеет в пределе при n распределение Колмогорова и квантили уровня P= (1-2) близки к 1. Это значит, что полученный генератор случайных чисел вырабатывает последовательность с заданным законом распределения. Если значения статистики Ди не попадают в пороговые значения, то такой генератор не годится для пользования.


F(y)


F(y) 1

F*(y)


0.5 Dn {


y

y1 y2 y3 y4 …….yn-1 yn


Рис.10Оценка распределения


III Содержание исследования


Исследование, проводимое в данной работе, заключается в получении программного датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. При этом необходимо разработать алгоритм и программу датчика, а затем исследовать свойства выработанной им последовательности. При проведении исследований необходимо:

1.По двадцати числам (n=20) выведенным на печать построить статистическую функцию распределения F*(y)(рис.10) На этом же графике построить интегральную функцию распределения F(y) для заданного преподавателем закона распределения. Сопоставив значения F*(yF(y), вычислить статистику Ди (30).

2. Составить блок- схему и программу для ПЭВМ, в которой следует предусмотреть построение статистического ряда и вычисление статистики Ди по критерию Колмогорова.

3.По таблице пороговых значений статистики Ди произвести оценку распределения.

4. Для полученной последовательности произвести оценку математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения.


Случайные файлы

Файл
179887.rtf
referat.doc
kursov.doc
14383-1.rtf
13117.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.