Билеты с решением 2016 (Определение)

Посмотреть архив целиком

Определение

Пусть функции и заданы на одном интервале. Функция называется первообразной для

на этом интервале, если для любого существует производная, равная .

Пример

Функция является первообразной для на интервале

Свойства первообразной

1. Если   ̶ первообразная для функции,  то  ,  где  – константа, также является

первообразной для той же функции. 

Док-во: 

2. Если  и   – две первообразные для одной и той же функции ,  то ,

  где   – константа.
Док-во:

3.

Док-во: пусть  и   – первообразные для функций и соответственно.

Тогда   является первообразной для функции

 

4., где и   – произвольные константы.






Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси

Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси



Теорема.

Любую нормальную систему ДУ можно свести к дифференциальному уравнению -го порядка и наоборот.

Док-во:

Сведение ДУ -го порядка к нормальной системе

Введём ДУ и пусть Тогда введённое уравнение равносильно системе:

Сведение нормальной системы к одному ДУ -го порядка

Рассмотрим случай Сведём к ДУ 2-го порядка, из 1-го ур-ия:

Если из 1-го уравнения системы можно выразить , то для получим уравнение 2-го порядка: =>. Тогда



Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (ось вращения ).

Доказательство

Пусть кривая , имеющая уравнение, вращается вокруг оси . Разобьем

на части и впишем в нее ломаную так, как это было сделано при

изучении длины дуги кривой. , где , – радиусы оснований конуса,

длина его образующей.

Так же, как при выводе формулы длины дуги в декартовых координатах, можно получить,

что . Тогда

Площадь поверхности вращения



, - независимая переменная, - неизвестная функции.

Уравнение первого порядка записывается так:
Интегральная кривая- график решения геометрически неопределённого интеграла,

представляющего собой семейство «параллельных» кривых .

График каждой кривой и называется интегральной кривой.
Частное решение - любая раз дифференцируемая функция ,

удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.
Теорема Коши.в области непрерывна и имеет непрерывную

частную производную→ для любой точки в окрестноститочки x0

существует единственное решение задачи












Определения

Пусть функция  определена при и инт. на любом отрезке [a, b] . Тогда на промежутке [a, +∞) определена функция . Если существует (конечный) предел то этот предел называется несобственным интегралом 1-го рода от функции  по промежутку [a, +∞) и обозначается

В случае существования предела (*) интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Свойства несобств. интеграла 1-го рода:


1) Аддитивность

Пусть . Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости =

Переходя к пределу , получаем требуемое

2) Линейность

Пусть существуют интегралы и

Тогда для Ɐα,β ϵ Rсправедливо

3) Пусть и инт. на промежутке , и пусть для справедливо неравенство

 . Тогда

Доказательство очевидно.

Исследуем сходимость интеграла в зависимости от α. При α≠1 имеем:

При α=1 получаем Значит интеграл сходится при и расходится при



Интегрируя еще раз, получим общее решение:

Правая часть уравнения не содержит искомой функции у. Уравнение решается с помощью подстановки:

где z– функция отх. Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .

Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену  получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка: