Билеты с решением 2016 (Vsya_Teoriya_Diff)

Посмотреть архив целиком

Теоретические вопросы к экзамену по курсу

«Интегралы и дифференциальные уравнения»


Неопределенный интеграл



  1. Дайте определение первообразной функции на интервале. Докажите теоремы о первообразных и приведите примеры.

  2. Дайте определение неопределенного интеграла. Сформулируйте и докажите его свойства. Приведите примеры. Таблица неопределенных интегралов.

  3. Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании подстановкой и заменой переменной для неопределенного интеграла. Приведите примеры.

  4. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла. Приведите примеры.

  5. Интегрирование простейших дробей. Приведите примеры.

  6. Интегрирование произвольной дробно рациональной функции (опишите алгоритм и приведите примеры).


Определенный интеграл



  1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Его геометрический и механический смысл. Необходимое и достаточное условия интегрируемости. Сформулируйте определение интегрируемости на отрезке функции

(без доказательства).

  1. Определенный интеграл и его свойства. Докажите линейность и аддитивность определенного интеграла.

  2. Определенный интеграл и его свойства. Докажите свойство интегрирования неравенств и теорему об оценке.

  3. Дайте определение среднего значения функции на отрезке. Докажите теорему о среднем. Объясните ее геометрический и механический смысл.

  4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной и формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

  5. Сформулируйте и докажите теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в определенном интеграле.

  6. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. Интегрирование периодических функций. Докажите формулы и приведите примеры.

Несобственный интеграл



  1. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла в зависимости от α.

  2. Несобственные интегралы от неограниченной функции (2-го рода). Сходящиеся и расходящиеся интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла в зависимости от α.

  3. Сформулируйте и докажите признак сравнения для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.

  4. Сформулируйте и докажите предельный признак для исследования сходимости несобственных интегралов. Приведите пример.

  5. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Сформулируйте определения и свойства. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов.

  6. Несобственные интегралы с несколькими особенностями, их сходимость и расходимость. Сформулируйте определения и приведите примеры.



Приложения определенного интеграла



  1. Площадь плоской фигуры. Формулы для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых и полярных системах координат и параметрически (с доказательством).

  2. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox

(с доказательством).

  1. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy (с доказательством).

  2. Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах

(с доказательством).

  1. Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически (с доказательством).

  2. Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (ось вращения Ох).







Дифференциальные уравнении



  1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, определения частного решения и интегральной кривой. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Сформулируйте теорему Коши существования и единственности решения.

  2. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, его геометрическая интерпретация, изоклины, общее и частное решения. Сформулируйте определения и приведите примеры. Особая точка и особое решение.

  3. Дифференциальное уравнение п-го порядка. Задача Коши. Ее геометрическая интерпретация для п = 2. Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения (формулировка). Краевая задача.

  4. Уравнения, допускающие понижение порядка, и методы их решения (вывод). Приведите примеры.


Линейные дифференциальные уравнения



  1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Однородные и неоднородные. Теорема Коши существования и единственности решения (вывод из общей теоремы Коши).

  2. Линейный дифференциальный оператор. Докажите, что решения ОЛДУ образуют линейное пространство.

  3. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Примеры линейно независимых систем. Теорема об определителе Вронского системы линейно зависимых функций (доказательство).

  4. Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений ОЛДУ (доказательство).

  5. Фундаментальная система решений ОЛДУ, сформулируй к* определение и докажите ее существование.

  6. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения

п-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения ОЛДУ п-го порядка.

  1. Формула Остроградского - Лиувилля для ЛДУ (вывод для п-2).

  2. Понижение порядка ЛДУ при известном частном решении однородного уравнения (с выводом).

  3. ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Сформулируйте и докажите теорему о связи между корнями характеристического уравнения и решениями ОЛДУ (случай различных действительных корней).

  1. Построение фундаментальной системы решений ОЛДУ с постоянными коэффициентами в случаях кратных действительных и комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.

  2. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n-го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения НЛДУ n-го порядка.

  3. Метод вариации постоянных Лагранжа для НЛДУ (вывод для п-2).

  4. Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решений для НЛДУ. Нахождение частных решений уравнения с правой частью специального вида.


Системы дифференциальных уравнений



  1. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши и теорема Коши существования и единственности решения нормальной системы (формулировка). Приведите пример.

  2. Связь между нормальными системами ДУ и дифференциальными уравнениями высших порядков. Докажите теорему о сведении уравнения к системе и системы к уравнению.

  3. Первые интегралы нормальной системы ДУ. Интегрируемые комбинации. Симметричная форма записи. Применение к решению системы ДУ.

  4. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнении. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы ОЛДУ. Фундаментальная матрица системы.

  5. Формула Остроградского - Лиувилля для систем однородных ЛДУ

(вывод для n=2).

  1. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнений. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения системы НЛДУ и теорему о наложении частных решений.

  2. Метод вариации постоянных Лагранжа для решения неоднородных систем ЛДУ (вывод для n=2).

  3. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения (вывод для случая действительных и различных корней).











1.

Определение

Пусть функции и заданы на одном интервале . Функция называется первообразной для на этом интервале, если для любого существует производная , равная .

Пример

Функция является первообразной для на интервале

Свойства первообразной

1. Если   ̶ первообразная для функции ,  то  ,  где   – константа, также является первообразной для той же функции. 

Док-во: 

2. Если   и   – две первообразные для одной и той же функции ,  то ,  где   – константа.
Док-во:

3.

Док-во: пусть  и    – первообразные для функций и соответственно.

Тогда    является первообразной для функции

 

4. , где и   – произвольные константы.





















2.

Определение

Совокупность всех первообразных функции f (x) (на некотором промежутке) называетсянеопределенным интегралом и обозначается , при этом символ называется интегралом, подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

Свойства

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель, отличный от нуля, можно вынести за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от суммы двух (или большего числа) функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

5. Свойство линейности:

Таблица неопределенных интегралов









3.

Теорема об интегрировании с подстановкой

Пусть функции и определены соответственно на промежутках и , дифференцируема на , причем для . Пусть далее

на промежутке . Тогда

на промежутке .

Доказательство

Пример



Теорема об интегрировании заменой переменной

Пусть функция дифференцируема на промежутке и взаимно однозначно отображает его на промежуток , причем для . Пусть, далее, функция определена на . Тогда, если на промежутке

то на промежутке

где – функция, обратная к функции .






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.