Билеты 2016 (Shpora_Teoriya_Linal)

Посмотреть архив целиком

Б1

1. Дайте определение евклидова пространства (ЕП). Приведите примеры. Дайте определение ортонормированного базиса ЕП и напишите формулу для вычисления скалярного произведения в этом базисе.

Действительным ЕП называется ЛП, в котором задан закон, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие число , называемое его скалярным произведением. Причем, для этого закона имеют место аксиомы:

Пример: , если

Базис называется ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны и нормы всех его векторов равны 1.

2. Дайте определение неявной функции ФНП. Сформулируйте теорему о ее существовании. Сформулируйте и докажите теорему о ее дифференцируемости.

Если уравнение ФНП связывает и аргументы , то функция называется неявно заданной.

Теорема о существовании неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , то некоторой окрестности непрерывная функция , однозначно определенная уравнением .

Теорема о дифференцируемости неявной ФНП

Если функция непрерывна вместе со своими ЧП в окрестности , в самой точке , а , неявно заданная функция опред-я в некоторой окрестности ур-е является дифференцируемой в той точке и имеет производную .

Док-во:

Пусть удовлетворяет в окрестности условиям теоремы. Дадим такое , чтобы . Тогда , т.к. . Т.к. и непрерывны в , функция дифф-а в точке , где и .

Заметим, что т.к. непрерывна, ; , ̶ б.м. более высокого порядка относительно ,

число ̶ по опред. дифф-а в точке .

Рассмотрим

Б2

1. Дайте определения подпространства линейного пространства, линейной оболочки системы векторов. Приведите примеры. Сформулируйте основное свойство линейной оболочки.

Подмножество ЛП-ва называется его линейным подпространством, если для векторов этого ЛП-ва:

Пример: 1) ; 2) .

Линейной оболочкой некоторой системы векторов ЛП-ва называется мн-во векторов, каждый из которых равен ЛК векторов данной системы.

Пример: конечномерное некоторого своего базиса, т.к. в

Теорема (основное свойство линейной оболочки)

Линейная оболочка системы векторов является наименьшим линейным подпространством, содержащим векторы этой системы.

2. Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП. Сформулируйте и докажите теорему о достаточных условиях дифференцируемости ФНП.

ФНП, определенная в окрестности некоторой точки , называется дифференцируемой в точке, если полное приращение функции в этой точке можно представить:

Теорема (достаточное условие дифференцируемости ФНП)

Если ФНП определена в некоторой окрестности точки, имеет в ней ЧП по всем переменным, которые непрерывны в самой точке, то она дифференцируема в этой точке.

Доказательство:

Пусть удовлетворяет условиям теоремы в . Дадим такие приращения и , чтобы точки и . Составим и преобразуем его следующим образом:

: Если , то

Аналогично, , то

Аналогично,

Любые числа и : дифф-ма в .


Б3

1. Дайте определение линейного оператора (ЛО) и его матрицы в заданном базисе. Сформулируйте теорему о связи между матрицами одного и того же ЛО в различных базисах.

Если в ЛП задан закон, по которому каждому ставится в соответствие , то этот закон, обращающий , называется оператором . Оператор, действующий в ЛП, называется линейным, если:

Если в ЛП действует ЛО , то в некотором базисе матрица, элементами столбцов которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов, разложенных по данному базису, называется матрицей ЛО-а.

Теорема (о связи между матрицами в разных базисах)

Пусть в ЛП действует оператор . В базисе он имеет матрицу , а в базисе . Если ̶ матрица перехода от , то .


2. Дайте определение полного дифференциала ФНП и дифференциалов высших порядков. Выведите формулу для вычисления дифференциала 2-го порядка ФНП. Напишите формулу для вычисления . Напишите матрицу Гессе и сформулируйте связь между нею и дифференциалом 2-го порядка ФНП.

Полным дифференциалом ФНП в точке , в которой она дифференцируема, называется главная часть ее полного приращения в этой точке, линейная относительно приращения аргументов.

Дифференциалом порядка , где , от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка , т.е. .

Вывод формулы дифференциала 2-го порядка: . Тогда, если

с матрицей Гессе , т.к. .

Формула для вычисления дифференциала -го порядка




Б4

1.Дать определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора, алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Сформулировать теорему об этих кратностях. В каком случае эти кратности обязательно совпадают?

Ненулевой вектор называют собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что . Число называется соответствующим вектору собственным значением оператора .

Алгебраической кратностью собственного значения линейного оператора называют кратность корня характеристического многочлена.

Геометрической кратностью собственного значения линейного оператора называется количество ЛНЕЗ векторов, соответствующих одному собственному значению.

Теорема (о кратностях собственных значений оператора)

Геометрическая кратность собственного значения не превосходит ее алгебраической кратности.

Кратности совпадают, если линейный оператор диагонализируемый.

2. Дать определение касательной плоскости к поверхности. Докажите теорему о ее существовании и выведите ее уравнение.

Рассмотрим некоторую поверхность в пространстве. Пусть точка и существует такая плоскость , проходящая через точку , которая содержит касательные, построенные в точке ко всем кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку . Плоскость называют касательной плоскостью к поверхности в .

Теорема:

Пусть в прямоугольной системе координат поверхность задана как .

дифференцируема в точке , градиент ф-ции в точке . Тогда касательная плоскость к поверхности в точке существует и имеет уравнение

Доказательство:

Рассмотрим кривую лежащую на пов-ти , проход. через точку и имеющую касательную в точке . Тогда эту кривую можно задать параметрически уравнениями

Значение параметра соответствует точке :

Вектор является направляющим вектором касательной к .

Продифференцировав в в точку по правилу диффер. сложной функции получаем:

Равенство означает, что вектор ортогонален вектору , независящему от выбора кривой .

Все касательные в точке ко всевозможным кривым ортогональны вектору функции . Построим плоскости , проходящую через точку и имеющую нормальный вектор . Т.к. касательные к любой кривой в точке , то является касательной плоскостью к поверхности в точке . Зная координаты точки и координаты вектора можем записать общее уравнение плоскости .


Б5

1. Квадратичная форма -   функция

коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

Ее ранг - ранг квадратичной формы. Если матрица A имеет максимальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную форму называют невырожденной, а если , то ее называют вырожденной.

В координатной форме

Теорема (О ранге КФ)

Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Закон инерции

Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. 


2.

Производной U(x,y,z) по направлению S с шагом называется предел приращения функции соответствующего шагу к этому шагу при условии его стремления к нулю.

Градиентом ФНП в некоторой точке называется вектор, координатами которого являются соответствующие частные производные, вычисленные в данной точке.

Вывод

.орт вектора , а значит и вектора S, сонаправленного с ним. направляющие косинусы.

Для

Свойства градиента

1)Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке x R n , то в этой точке где Прb a — проекция вектора a на направление вектора b.

Доказательство

В случае n = 2 или 3 соотношение эквивалентно в силу формулы связи между ортогональной проекцией и скалярным произведением двух векторов:

в которой надо взять x = , y = grad f(x) и учесть, что || = 1. При n > 3 формулу следует трактовать как определение ортогональной проекции вектора y на направление вектора x.

2) Если функция f: RnR дифференцируема в точке x R n и , то при n = grad f(x) имеем

Доказательство

Если n = grad f(x), то и:

3) Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке xRn , то в этой точке вектор grad f(x) указывает направление наибольшего роста функции f(x).

Доказательство

В силу неравенства Коши —Буняковского для любого вектора n

причем несложно убедиться, что в случае, когда приведенное неравенство превращается в равенство.

Действительно, тогда где , и .

Докажем, что никакое другое направление не является направлением наибольшего роста. Отметим, что для несовпадающих единичных векторов n1 и n2 в силу легко проверяемого тождества

верно неравенство (n1, n2) < 1. Поэтому если единичный вектор имеет то же направление, что и , а — любой другой единичный вектор, то имеем

4)Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке x, то в этой точке вектор −grad f(x) задает направление наибольшего убывания функции f(x).

Доказательство

При изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции по направлению меняет знак. Поэтому если вектор n указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор (−n) указывает направление наибольшего возрастания функции. В самом деле, если функция f(x,y) возрастает в направлении некоторого вектора a быстрее, чем в направлении вектора (−n), то она и убывает в направлении вектора (−a) быстрее, чем в направлении вектора n. Но это противоречит выбору вектора n как вектора, определяющего направление наибольшего убывания функции. Согласно свойству 3, вектор (−n) имеет то же направление, что и вектор grad f(x). Следовательно, вектор n по направлению совпадает с вектором (−grad f(x)).

5) Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке x, то наибольшая скорость роста (убывания) функции f(x) в этой точке равна | grad f(x)| (−| grad f(x)|).


Доказательство

Согласно свойствам 2 и 3, производная функции f(x) по направлению вектора grad f(x) (направлению наибольшего роста) равна |grad f(x)|. Производная попротивоположному направлению, определяющая наибольшую скорость убывания функции отличается лишь знаком и равна −| grad f(x)|.


Б6

1

Линейное пространство - множество называют линейным пространством над полем действительных чисел R если:

определен закон по которому каждой паре векторов ставится в соответствие вектор называемый суммой

определен закон по которому ставится в соответствие другой вектор называемый произведение на число: =λ

для этих линейных операций выполняются аксиомы

1)+=+ 2)= 3)

4)для противоположный 5)

6)λλ+λ 7)λ)=(µλ) 8)(λ+µ)=λ

Базисом ЛП называют упорядоченную систему ЛНЕЗ векторов такую что любой вектор пространства может быть представлен как ЛК векторов этой системы.

Пример Множество является ЛП тк определены законы и

=λ также выполняются аксиомы ЛП. Множество .

4

Определение ФНП дифференцируемой в точке

Функцию определенную в некоторой окрестности точки называют дифференцируемой в точке если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде , где коэффициенты не зависят от приращений а ф-я является бесконечно малой при

Определение сложной ФНП

Рассмотрим сложную функцию вида , где

Пусть функции дифференцируемы в точке а функция , дифференцируема в точке, где Тогда сложная функция ) дифференцируема в точке , . При этом частные производной этой сложной функции в точке находятся по формулам в которых берутся в точке , а берутся в точке .

Доказательство

Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции и получат приращения соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение функции . Так как по условию функция дифференцируема в точке то ее полное приращение можно представить в виде

где при Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда и в силу непрерывности функций (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

т. е.

Б7

Квадратичная форма -   функция

коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 


В координатной форме

В векторно-матричной форме имеет вид

Квадр. форма называется положительно (отрицательно) -определенной, если для любого ненулевого выполняется неравенство ()

Критерий Сильвестра

Квадратичная форма с матрицей А в некотором базисе называется положительно определенной тогда и только тогда когда все главные миноры этой матрицы положительны и отрицательно определенной тогда и только тогда когда главные миноры матрицы чередуются знаками начиная с минуса.

2

Рассмотрим ф-ю непрерывную в месте с частной производной в области D. Градиентом ФНП в некоторой точке называют вектор координаты которого являются соответственные частные производные вычисленные в этой точке.

Свойства градиента

1)Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке x R n , то в этой точке

Доказательство

В случае n = 2 или 3 соотношение эквивалентно в силу формулы связи между ортогональной проекцией и скалярным произведением двух векторов:

в которой надо взять x = , y = grad f(x) и учесть, что || = 1. При n > 3 формулу следует трактовать как определение ортогональной проекции вектора y на направление вектора x.

2) Если функция f: RnR дифференцируема в точке x R n и , то при n = grad f(x) имеем

Доказательство

Если n = grad f(x), то и:

3) Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке xRn , то в этой точке вектор grad f(x) указывает направление наибольшего роста функции f(x).

Доказательство

В силу неравенства Коши —Буняковского для любого вектора n

причем несложно убедиться, что в случае, когда приведенное неравенство превращается в равенство. Действительно, тогда где , и

.

Докажем, что никакое другое направление не является направлением наибольшего роста. Отметим, что для несовпадающих единичных векторов n1 и n2 в силу легко проверяемого тождества

верно неравенство (n1, n2) < 1. Поэтому если единичный вектор имеет то же направление, что и , а любой другой единичный вектор, то имеем

4)Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке x, то в этой точке вектор −grad f(x) задает направление наибольшего убывания функции f(x).

Доказательство

При изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции по направлению меняет знак. Поэтому если вектор указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор указывает направление наибольшего возрастания функции. В самом деле, если функция возрастает в направлении некоторого вектора a быстрее, чем в направлении вектора то она и убывает в направлении вектора быстрее, чем в направлении вектора n. Но это противоречит выбору вектора n как вектора, определяющего направление наибольшего убывания функции. Согласно свойству 3, вектор имеет то же направление, что и вектор . Следовательно, вектор n по направлению совпадает с вектором

5) Если функция f: Rn → R дифференцируема в точке , то наибольшая скорость роста (убывания) функции f(x) в этой точке равна

Доказательство

Согласно свойствам 2 и 3, производная функции по направлению вектора (направлению наибольшего роста) равна . Производная по противоположному направлению, определяющая наибольшую скорость убывания функции отличается лишь знаком и равна



Связь между градиентом и производной по направлению

Пусть дано скалярное поле и определено в этом поле, поле градиентов

Производная по направлению вектора равняется проекции вектора

Доказательство

Рассмотрим единичный вектор соответсвующий вектору

Вычислим скалярное произведение векторов

Выражение стоящее в правой части есть производная по направлению вектора следовательно мы можем записать

Если обозначить угол между то можем записать

Теорема доказана


Б8

1 Квадратичная форма -   функция

коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 

Ее ранг - ранг квадратичной формы. Если матрица A имеет максимальный ранг, равный числу переменных n, то квадратичную форму называют невырожденной, а если , то ее называют вырожденной.

В координатной форме

Теорема (О ранге КФ)

Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Закон инерции

Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. 

Если квадратичная форма содержит только квадратичную переменную то такой вид то такой вид называется каноническим.

Базис в котором квадратичная форма имеет канонический вид называется каноническим.

2. Пусть зависят от переменных, непрерывны и дифференцируемы по ним. Введём векторы и Функция называется вектор-функцией векторного аргумента.

Матрицей Якоби для векторной ФНП называется матрица, элементами которой являются частные производные от координат вектора по координатам вектора :


Если то такой определитель называют якобианом

Производная сложной ВФНП

Если векторная функция непрерывна в точке а непрерывна в то сложна ВФ дифференцируема в точке .

Рассмотрим частные производные = y-сложная ВФНП

Составим матрицу Якоби

теорема доказана


Б9

Квадратичная форма -   функция

коэффициенты квадратичной формы.

Матричная запись квадратичной формы 


В координатной форме

В векторно-матричной форме имеет вид

Если квадратичная форма содержит только квадратичную переменную то такой вид то такой вид называется каноническим.

Базис в котором квадратичная форма имеет канонический вид называется каноническим.

Теорема

Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду линейными ортогональными преобразованиями.(метод Лагранжа)

Пример

2 Функция  имеет в точкелокальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , для всех точек   которой, отличных от ,выполняется неравенство  (

Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции 

  Если  - точка экстремума функции f, то

 Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции 

 Обозначим  

Если D > 0, A > 0, то  - точка минимума.

Если D > 0, A < 0, то  -  точка максимума.

Если D < 0, экстемума в точке   нет.

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.

Доказательство необходимости

Геометрическое доказательство очевидно. Если в точке M0 провести касательную плоскость то она естественно пройдет горизонтально те под углом к оси и к оси . Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных


Б10

1. Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима;

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы. где

Матрицу называют матрицей перехода от старого базиса b к новому базису c. i-й столбец матрицы перехода есть столбец координат i-го вектора нового базиса в старом. Поэтому говорят, что матрица перехода состоит из координат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам. Каждый вектор из базиса может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса b:

2.

Производную функции в точке называют частной производной функции нескольких переменных в точке по переменному . Аналогично можно определить частные производные функции и по другим переменным.

Частную производную функции называют частной производной второго порядка функции в точке по переменным ии обозначают .


Теорема (о смешанных частных производных).

Пусть функция (n > 1) в некоторой окрестности точки a Rn имеет частные производные первого порядка и , , а также смешанные производные и . Если эти смешанные производные являются непрерывными в точке , функциями по части переменных и , то в этой точке их значения совпадают, т.е.

Доказательство

При доказательстве теоремы значения всех переменных, кроме xi и xj , можно считать фиксированными. Поэтому можно вести речь о функции, имеющей только два аргумента и , которые удобно переобозначить: = x, = y. Итак, пусть функция f(x, y) в некоторой окрестности U точки (p, q) имеет частные производные первого порядка и смешанные производные, , причем обе смешанные производные непрерывны в самой точке (p, q). Покажем, что в этой точке смешанные производные равны. Выберем такое число δ > 0, что при |∆x| < δ, |∆y| < δ точка (p + ∆x, q + ∆y) попадает в окрестность U. Тогда в квадрате |∆x| < δ, |∆y| < δ определена функция g(∆x,∆y) = f(p+∆x, q+∆y)−f(p+∆x, q)−f(p, q+∆y) + f(p, q).

Для функции одного переменного имеем . Функция (x) на отрезке [p, p + ∆x] (или [p + ∆x, p] при ∆x < 0) имеет производную и потому непрерывна на этом отрезке.

Следовательно, к функции (x) на указанном отрезке можно применить теорему Лагранжа. Согласно этой теореме, существует такое число ϑ (0, 1), что

Итак

Разность в квадратных скобках представляет собой приращение функции одного переменного на отрезке [q, q + ∆y] (или минус приращение на отрезке [q + ∆y, q] при ∆y < 0): На отрезке [q, q + ∆y] функция λ(y) имеет производную λ 0 (y) = (p + ϑ∆x, y) и является поэтому непрерывной на этом отрезке. Значит, и к этой функции на указанном отрезке можно применить теорему Лагранжа.

Мы приходим к выводу, что , где ϑ1 (0, 1) — некоторое число.

В результате находим, что g(∆x, ∆y) = (p + ϑ∆x, q + ϑ1∆y)∆x∆y.

Равенство было получено в результате двукратного применения теоремы Лагранжа, причем сперва она применялась по переменному x, затем — по переменному y. Но те же рассуждения можно повторить, поменяв лишь порядок переменных. Тогда получим равенство, аналогичное, но включающее другую смешанную производную. Действительно, если функцию g(∆x, ∆y) представить в виде g(∆x, ∆y) = ψ(q + ∆y) − ψ(q), где ψ(y) = f(p + ∆x, y) − f(p, y), то получим g(∆x, ∆y) = ψ’ (q + ϑ2∆y)∆y = f’y (p + ∆x, q + ϑ2∆y) – f’ y (p, q + ϑ2∆y) ∆y, где ϑ2 (0, 1).

Повторно применяя теорему Лагранжа к разности в квадратных скобках, приходим к равенству

Соединяя равенства, а затем сокращая на произведение , получаем

Переходя в этом равенстве к пределу при (∆x, ∆y) → (0, 0), заключаем, что (p, q) = (p, q), так как по условию теоремы смешанные производные и непрерывны в точке (p, q).


Б11

1.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если такое число , что . Число называется собственным значением оператора ,соответствующего вектору. Многочлен относительно называется характеристическим многочленом оператора .

Теорема о ЛНЗ собственных векторов: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям ЛНЗ.

Док-во: Метод математической индукции:

1)Если существует одно собственное значение и ему соответствует вектор , то ЛК только при , т.к. не равен нулю по определению.

2)Допустим, что утверждение верно для собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям, т.е. для различных

только при .

3)Рассмотрим систему , где и не равно ; Составим ЛК векторов этой системы равную нуль-вектору и подействуем на нее ЛО : (a) ; ; (б) ; cоставим комбинацию : , т.к. -ЛНЗ ; все , т.к. не равно , то все , тогда из (а): , т.к. не равен нулю , т.е. в (а): ЛК обращается в 0 только при всех система ЛНЗ.

Теорема о матрице ЛО в базисе из собственных векторов:

Матрица линейного оператора имеет диагональную форму тогда и только тогда, когда она записана в базисе, составленном из собственных векторов.

2.

В общем случае мы называем ФНП отображение вида , где принадлежит . Если , т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называют скалярной ФНП. Если же , то указанное отображение называют векторной ФНП или векторной функцией векторного аргумента.

Функции нескольких переменных , называют координатными функциями векторной функции . Для представления векторной функции используют координатную форму записи .

Пусть заданы векторная ФНП , множество принадлежащее и предельная точка множества . Точку принадлежащую называют пределом функции в точке по множеству , если для любой -окрестности точки существует такая проколотая -окрестность точки , что принадлежит при принадлежащем , в этом случае, как и в скалярном, записывают

, или при. Если , то говорят просто о пределе функции в точке и обозначают его, опуская упоминание множества

Векторная ФНП называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке: существует .

Векторная ФНП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.


Б12

1. Дайте определение линейного оператора и его матрицы в заданном базисе линейного пространства. Дайте определение собственного значения и собственного вектора ЛО. Сформулируйте теорему о собственных векторах соответствующих попарно различным собственным значениям. Докажите теорему о матрице ЛО в базисе из собственных векторов.

Линейным отображением векторного пространства  над полем  в векторное пространство  (линейным оператором из  в ) над тем же полем  называется отображение , удовлетворяющее условию линейности для всех  и .

 Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора , если  , такое, что  Число  называется собственным числом (собственным значением) оператора , соответствующим этому собственному вектору.

Определение: Число называется собственным значением оператора , если существует такой ненулевой вектор , что справедливо равенство .

Если в линейном пространстве действует линейный оператор ,то в некоторой матрице, элементами столбцов которой являются координаты образов соответственных базисных векторов, разложенных по называют матрицей в заданном базисе линейного пространства

Теорема: собственные векторы соответствующие попарно различным собственным значениям –ЛНЕЗ

Теорема: Матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, т.к. все векторы базиса –собственные векторы линейного оператора.

Доказательство: В мат. ЛО А : ; Из определения матрицы :

1)- собственный вектор линейного оператора

2)-собственный вектор => все -собственные векторы

Дано: из определения матрицы линейного оператора следует

диагональная матрица.


2.

Дайте определение дифференцируемой в точке ФНП, ее полного и частных дифференциалов. Напишите формулы для их вычисления.

Определение: Функция  определенная в окрестности  называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение в   , что 

Линейная (относительно  и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
, где  и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и .

Определение : Частным дифференциалом ФНП в т. , по переменной называется главная часть частного приращения функции по этой переменной, линейная относительно приращения :