Моделювання поведінки виробників та споживачів (183543)

Посмотреть архив целиком

  • МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ


    В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це обмежений дохід:

    max u(x) (1.1)

    px = M


    де х=(х1,...,хn)′ – вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; nчисло різноманітних товарів; u(х) функція корисності споживача; р = (p1,…,pn) – вектор-рядок цін товарів; М обсяг доходу споживача.

    Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа:


    L(x,λ)=u(x)-λ(px-M).


    Необхідними умовами локального екстремуму є:


    (1.2)

    (1.3)


    Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)=є вiд’ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір , що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін:



    Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно , отримаємо функцію попиту споживача:



    2. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО


    Розглянемо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на . Це приводить до такої зміни попиту на товари


    (2.1)


    де р – вектор-рядок цін; Uматриця Гессе; – вектор-стовпчик попиту на товари; – множник Лагранжа; – індекс n за дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.

    Проаналізуємо зміст складових, що входять у рівняння (2.1).

    Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку величину , яка компенсує споживачеві збільшення ціни на n-й товар (благо) на .

    Збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:


    (2.2)


    Тобто друга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на компенсується збільшенням доходу на .

    Зміна попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на , то відповідно змінюється попит:


    (2.3)


    Об’єднуючи вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:


    (2.4)


    Оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від’ємним знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.

    Ефект доходу полягає у змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.

    Ефект заміщення полягає у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.


    Графік представлено на малюнку 2.1


    Малюнок 2.1 - Графік


    3. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ

    Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Хкількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = 1, ..., хn)′. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів:


    Х=F(х).


    Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд’ємно визначеною.

    Якщо вектор-рядок цін ресурсів, а р – ціна продукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток:


    (3.1)


    У (3.1) вартість річного випуску ô³рми, або її річний дохід, – витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.

    Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:


    (3.2)

    Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності: Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера:


    (3.3)


    Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто , то умови (3.3) матимуть вигляд:


    (3.4)

    тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi.

    Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат


    (3.5)


    Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа



    і знайдемо її максимум за умови невiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:


    (3.6)


    Як бачимо, якщо покласти , умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).


  • Случайные файлы

    Файл
    103566.rtf
    30612-1.rtf
    10447.rtf
    Физика_3.doc
    14328.rtf




    Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
    Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
    Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.