Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана



Факультет "Информатика и системы управления"

Кафедра ИУ-3


















Лабораторная работа №1


по курсу " Цифровая обработка сигналов "


Дискретизация. Дискретное преобразование Фурье




















Работу выполнил:

Кубрак Константин

Группа ИУ3-51


Москва 2013 г.

Цель работы


Изучение свойств дискретного преобразования Фурье. Получение необходимых сведений о практическом применении дискретного преобразования Фурье и теоремы Котельникова. Знакомство с пакетом MATLAB.



Задания к лабораторной работе


Задание 1

Используя функцию построения графиков в пакете MATLAB, проиллюстрируйте утверждение 2 раздела 1.4.

Указание. Постройте в одной системе координат несколько синусоид, частоты которых удовлетворяют соотношению из утверждения 2 раздела 1.4 для некоторой заданной частоты дискретизации и покажите, что при дискретизации любой из этих синусоид с соответствующей частотой дискретизации получатся одни и те же отсчеты.


Заданная частота дискретизации:

Шаг дискретизации:

с шагом дискретизации 0,01;


Рис.1 Графики синусов


Код программы:

>>plot ([0:0.01:1], sin (2*pi*2*[0:0.01:1]));

>> hold on

>> plot ([0:1/5:1], sin (2*pi*2*[0:1/5:1]),'o');

>> plot ([0:0.01:1], sin (2*pi*7*[0:0.01:1]));

>> plot ([0:0.01:1], sin (2*pi*(-3)*[0:0.01:1]));


Синусоида 1:

Синусоида 2:

Синусоида 3:


При :

Синусоида 1:

Синусоида 2:

Синусоида 3:


Выражения (1), (2) и (3) равны, следовательно, при дискретизации любой из этих синусоид с соответствующей частотой дискретизации (в данном случае получаются одни и те же отсчеты.

Задание 2


Зайдите в раздел help пакета MATLAB и выясните, как работает функция randn.

Создайте сигнал «шум» + «синусоида» и отобразите его во временной области. Мощность шума должна быть такой, чтобы синусоиду единичной амплитуды различить было невозможно (для этого вполне достаточно значений, возвращаемых функцией randn по умолчанию).

Выполните дискретное преобразование Фурье (ДПФ) полученного сигнала. На графике ДПФ синусоида заданной частоты должна быть видна. Определите настоящую частоту этой синусоиды, считая известной частоту дискретизации.


Функция randn(1,N) задаёт последовательность из N случайных чисел, распределенных по нормальному закону (математическое ожидание – 0 и дисперсия – 1). С помощью этой функции можно смоделировать нормальный белый шум.


Код программы:

>> N=300; % число отсчётов

>> f=40; % частота сигнала

>> fs=150; % частота дискретизации

>> x = randn(1,N+1); % задаём "шум"

>> F = sin(2*pi*f*[0:1/fs:N/fs]); % задаём синусоиду

>> plot (x+F); % график сигнала во временной области

>> plot (abs(fft(x+F))); % график сигнала в частотной области (ДПФ полученного сигнала)


ВОПРОСЫ по двум графикам на следующей странице задаёт он:

  1. Почему 2 «пика» на графике?

  2. Как влияет шум на сигнал? (подсказка: добавляются новые частоты)


Рис.2 График сигнала во временной области

Рис.3 График сигнала в частотной области


Глядя на частотную область, видим пики, соответствующие и . Посчитаем соответствующие f:

Таким образом, из вышестоящих формул следует, что на графике ДПФ отображена именно та частота, которую мы задавали изначально.


Задание 3


Задайте частоты f1, f2 и fs ( fs > 2 * max (f1,f2) ). Создайте сигнал, равный сумме двух синусоид частот f1 и f2 и произведите дискретизацию этого сигнала с частотой fs.

Нужно в соответствии с заданными частотами f1, f2 и fs подобрать такое минимальное количество отсчетов N, чтобы пики на графике ДПФ, соответствующие f1 и f2, были хорошо различимы. При этом можете просматривать соответствующий график во временной области.


Шаблон, который полезен при выполнении задания, следующий:


diskr=sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f1)+ sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f2); (1)

plot ([0:N],diskr);

plot(abs(fft(diskr)));


Задаём частоты далее, изменяя число отсчётов N, строим графики, пользуясь шаблоном, приведённым выше.


Код программы:

>> f1=30;

>> f2=50;

>> fs=120;

>> diskr=sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f1)+ sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f2);

>> plot([0:N],diskr);

>> plot(abs(fft(diskr)));




















Графики:

Для N=2:

Рис. 4 График во временной области, N=2

Рис. 5 График в частотной области, N=2

Для N=4:


Рис. 6 График во временной области, N=4

Рис. 7 График в частотной области, N=4

Для N=8:


Рис. 8 График во временной области, N=8

Рис. 9 График в частотной области, N=8

Для N=16:


Рис. 10 График во временной области, N=16

Рис. 11 График в частотной области, N=16

Для N=32:


Рис. 12 График во временной области, N=32

Рис. 13 График в частотной области, N=32

Для N=64:


Рис. 14 График во временной области, N=64

Рис. 15 График в частотной области, N=64

Для N=128:


Рис. 16 График во временной области, N=128

Рис. 17 График в частотной области, N=128

Для N=256:


Рис. 18 График во временной области, N=256

Рис. 19 График в частотной области, N=256

Для N=512: