Лекции 2014 и 2010 годы (Конспект ОТУ3 07)

Посмотреть архив целиком

ГЛАВА 3

ОПЕРАТОРНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ


Цифровая реализация корректирующего фильтра с передаточной функцией

(3.1)


связана с численным решением соответствующего дифференциального уравнения

(3.2)

Для получения численного решения,дискретного по своей природе, вводится дискретное время

(3.3)

Здесь h-щаг дискретизации, k-числа из натурального ряда.

Необходимо построить разностное уравнение , решение которого было бы достаточно близко к точному решению уравнения(3.20 в момент времени (3.3)

Общая форма записи линейного разностного уравнения n-го порядка имеет следующий вид[5]

(3.4)

Здесь и постоянные коэффициенты.

Уравнение (3.40), по существу, является алгоритмом вычисления очередного к-того отсчета х(к), для чего необходимо иметь в памяти машины n предыдущих отсчетов

х(к-1),...х(к-n), вычисленных ранее,

и m+1 отсчетов,

y(k), y(k-1)...y(k-m) входной величины, поступающих извне.

Существует множество методов вычисления коэффициентов разностного уравнения (3.4) по коэффициентам исходного уравнения(3.2), простейшим из которых является метод конечных разностей.


3.1.Метод конечных разностей


Идея метода конечных разностей заключается в том, что производные в уравнении (3.2) приблизительго заменяются конечными разностями, отнесенными к шагу дискретизации h:

(3.5)


Аналогично вычисляются и производные входной величины.

Подставив приближенные выражения (3.5) производных по входу и выходу в уравнение (3.2) и собрав коэффициенты при одинаковых отсчетах, получим разностное уравнение (3.4)


Проиллюстрируем метод на уравнении второго порядка

(3.6)

Подставим сюда (3.5) по входу и выходу:

(3.7)

Отсюда:

Умножив это уравнение на и поделив на коэффициент при x(k), получим:

(3.8)

Обозначим z-преобразования последовательностей x(k) и y(k) через X(Z) и Y(Z)

соответственно. Применим к разностному уравнению (3.4) операцию z- преобразования, что формально эквивалентно использованию оператора z сдвига (опережения):

(3.9)

Из (3.4) и (3.9) можем получить:

Умножив обе части равенства на , cформируем дискретную передаточную функцию:

(3.10)

Переход от непрерывной передаточной функции (3.1) к дискретной передаточной функции (3.10) по методу конечных разностей производится с использованием линейных операций, поэтому он может быть сведен к замене операторов в соответствии с (3.5).

Итак, из (3.5)

Используя оператор дифференцирования р и оператор сдвига , из последнего выражения можно получить:

Отсюда

(3.11)

Заменив в передаточной функции (3.1) оператор р выражением (3.11), получим дискретную передаточную функцию (3.10), коэффициенты которой сформированы по методу конечных разностей.

Для уравнения(3.6) второго порядка

Подставив сюда (3.11):

Поделив в последнем соотношении числитель и знаменатель на коэффициент при знаменателя, получим:

(3.12)

Сравнивая коэффициенты (3.8) и (3.12) можно видеть их равенство.


3.2.Цифровые интеграторы.


Выше было показано, что метод конечных разностей сводится для линейных уравнений к замене оператора дифференцирования р приближенным соотношением (3.11).

В свою очередь, это можно трактовать, как замена оператора интегрирования:

(3.13)

Рассмотрим некоторые способы численного интегрирования и соответствующие им операторы.Операция интегрирования может быть записана в виде уравнения:

(3.14)

Точное решение уравнения (3.14) на шаге h имеет вид:

На рис.5 величина представлена площадью под кривой



y(t) y(t+h)


y(t)



t


k

x(k) t t t+h

x(k+1)

x(k) }Dx

t


k k+1 k


рис5.

Интегрирование на шаге h.


При дискретном по времени представлении величин значения y(t+t) внутри шага h неизвестны, поэтому вычислить точное значение интеграла невозможно. Приближенно значение можно вычислить несколькими способами. Рассмотрим некоторые из них.


3.2.1.Интерполяционный метод прямоугольников.


В этом методе интегрируемая функция y(t+h) на интервале h принимается постоянной, равной значению y(t+h).Приближенное значение интеграла при этом вычисляется по формуле:

(3.15)

Применяя оператор сдвига z , получим:

(z-1)x(k)=hzy(k)

Отсюда:

(3.16)

Здесь -оператор приближенного интегрирования (аналог ) и D -оператор приближенного дифференцирования, являющийся аналогом оператора дифференцирования р .

Сравнивая (3.11) и (3.13) с (3.16) видим, что метод конечных разностей и интерполяционный метод прямоугольников эквивалентны.


3.2.2.Экстраполяционный метод прямоугольников.


Интегрируемая функция y(t+h) на интервале h применяется постоянной, равной значению y(t).

Тогда

x(t+h)=x(k+1)=x(k)+hy(k) (3.17)

Отсюда, используя оператор сдвигa z , получим,

(3.18)


3.2.3.Интерполяционный метод трапеций (Метод Тастина)


Интегрируемая функция y(t+t) на интервале h принимается линейной, соединяющей точки y(t) и y(t+h).

В этом случае

(3.19)

Отсюда, используя z :

(3.20)


3.2.4.Экстраполяционный метод трапеций.


Интегрируемая функция y(t+t) на интервале h принимается линейной, соединяющей точки y(t-h) и y(t), что иллюстрируется рис.6.














y

y(t+t)



y(t)



y(t-h)


t



t-h t t+h

t

k-1 k k+1 k

h h


рис.6

Интегрирование экстраполяционным методом трапеций.

В этом случае

(3.21)

Отсюда, используя z:

(3.22)


3.2.5.Качественное сравнение цифровых интеграторов


Построение дискретной передаточной функции W(z) (3.10), cоответствующей непрерывной передаточной функции (3.1) сводится к замене оператора р. приближенным оператором D, например , одним из перечисленных выше.

Легко видеть, что применение оператора (3.18) сохраняет порядок n знаменателя и m числителя в дискретной передаточной функции.

Операторы (3.16) и(3.20), независимо от m приводят к одинаковым порядкам числителя и знаменателя W(z), равным n.

Оператор (3.22) удваивает порядок знаменателя W(z), а порядок числителя делает равным (n+m). Обобщая вышесказанное можно сделать следующие заключения:

а) Если порядок числителя и знаменателя оператора D одинаков, то порядки числителя и знаменателя W(z) тоже одинаковы, независимо от m.

Это означает, что к вычислению очередного, (k+1)-го, отсчета x(k+1) можно приступить только тогда, когда в ЦВМ поступит y(k+1).

б) Если порядок знаменателя D хотя бы на единицу меньше порядка его числителя, то при m < n порядок числителя W(z) меньше порядка его знаменателя.

Из этого следует, что вычиcление x(k+1) можно начинать сразу же после поступления в ЦВМ y(k).

При работе ЦВМ в реальном времени случай б) имеет перед случаем а) большое преимущество ввиде резерва времени величиной в h.

в) При порядке числителя оператора D, большем единицы, в передаточной функции W(z) возникают дополнительные ,паразитные, корни характеристического уравнения, что может привести к большим искажениям полученного результата, вплоть до потери устойчивости решения.


3.3.Оценка погрешностей.


Если в передаточной функции W(p) оператор р выполняется с малой погрешностью Dр, то малую погрешность передаточной функции можно записать: