Лекции 2014 и 2010 годы (Конспект ОТУ5 07)

Посмотреть архив целиком

ГЛАВА 5

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ


Оценку погрешностей численных решений будем производить для уравнения первого порядка

(5.1)

Точное решение на шаге, в соответствии с (4.14), имеет вид:

(5.2)


В качестве входного воздействия примем экспоненту:

(5.3)

При входном воздействии (5.3) ряд(5.2) легко суммируется, и точное решение можно записать в нескольких формах:

(5.4)


5.1 Интерполяционный метод прямоугольников.


Операторная форма записи уравнения (5.1) имеет вид:

(D-a)x=Ry (5.5)

Для интерполяционного метода прямоугольников, в соответствии с (3.16),

D=(z-1)/hz.

Подставив это в (5.5), перейдем к приближенному разностному уравнению:

(5.6)

В соответствии с (5.3), при t=kh,

; (5.7)

Точное разностное уравнение получим из(5.4):

(5.8)

Из(5.6) и (5.8), с учетом (5.7) ,сформируем локальную ошибку:

(5.9)

Используя разложения в ряды, приведем коэффициенты ошибок к виду :

; (5.10)


5.2. Экстраполяционный метод прямоугольников.


Для данного метода, в соответствии с (3.18),

Подставив это в (5.5), получим:

(5.11)

Точное уравнение получим из (5.4) и(5.7):

(5.12)

Из (5.11) и(5.12) сформируем локальную ошибку:

Отсюда

(5.13)

5.3 Метод Тастина


Для метода Тастина, (3.20),


Из (5.5) с учетом (5.7), получим приближенное разностное уравнение:

(5.14)

Из (5.12) и (5.14) найдем локальную ошибку:

Отсюда вычислим коэффициенты ошибок:

(5.15)


5.4 Полуаналитические методы


Выражение (5.2) точного решения на шаге уравнения (5.1) позволяет сформировать приближенный алгоритм вычислений.

Удерживая в разложении (5.2) члены до включительно, можем записать:

(5.16)

Здесь - приближенные значения производных от входного возмущения, вычисленные тем или иным способом по имеющимся отсчетам самого возмущения.

Пусть

; (5.17)

Здесь и - погрешности определения производных.

Сформировав разность между приближенным (5.16) и точным (5.2) решениями с учетом ( 5.17 ) ,получим выражение для локальной погрешности:

(5.18)

Сравнивая это выражение с ошибками операторных методов, например с (5.9), можно видеть, что для полуаналитических методов коэффициент ошибки всегда равен нулю.


5.4.1. Вычисление производных.


Оценку погрешностей вычисления производных будем производить для экспоненциального входного возмущения (5.3) с учетом (5.7).

Точные значения производных и значения близлежайших отсчетов при этом будут:

(5.19)

Экстраполяционную оценку первой производной, не содержащую y(k+1), примем в виде:

(5.20)

Ошибку по производной получим из (5.19) и (5.20):

(5.21)

Интерполяционную оценку первой производной примем:

(5.22)

Ошибку по производной вычислим из (5.19) и (5.22):

(5.23)

Более точной интерполяционной оценкой производной является выражение:

(5.24)

Ошибка такой оценки, с учетом (5.19) и (5.24), имеет вид:

(5.25)

Экстраполяционную оценку второй производной можно сформировать следующим образом:

(5.26)

Используя (5.19) и (5.26), можно получить ее ошибку: