Лекции 2014 и 2010 годы (Лекции ОТУ)

Посмотреть архив целиком

43


Лекции ОТУ


БОЕВКИН ВИКТОР ИВАНОВИЧ


ЛЕКЦИИ по курсу “ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ”

Кафедра ИУ-3, 3-й курс, 5-й семестр.


ВВЕДЕНИЕ


В курсе лекций рассмотрено проектирование системы управления аналоговым обьектом, которое начинается с выбора линейного фильтра, обеспечивающего для заданного обьекта нужные динамические свойства системы. Далее рассмотрены различные аспекты цифровой реализации фильтра, связанные с работой в реальном времени. Производится сравнительный анализ различных алгоритмов, в том числе полуаналитических, по точности и запаздыванию. Рассмотрены вопросы моделирования цифро-аналоговой системы управления. В приложениях дается перечень возможных задач для исследования.




































РАЗДЕЛ 1


АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ АНАЛОГОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ


1.1 Общие соотношения


Рассмотрим, как в [1] ,одноконтурную систему управления со структурной схемой, представленной на рис.1, где обозначено:

-передаточная функция обьекта управления (неизменяемая часть системы);

-передаточная функция корректирующего фильтра.


Uвх Y Х U







рис.1

Структурная схема системы управления


Пусть Wo(p) имеет достаточно произвольный вид:

(1.1)

Здесь m и n -порядки полиномов числителя и знаменателя соответственно;

-известные коэффициенты, причем

Последовательно с обьектом включен корректирующий фильтр с передаточной функцией:

(1.2)

Здесь и к - порядки полиномов числителя и знаменателя фильтра соответственно;

- коэффициенты, подлежащие определению из требований к динамическим свойствам системы, причем:

При заданом объекте попытаемся подобрать такой фильтр, который обеспечил бы произвольное расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы, т.е. обеспечил бы произвольное качество и длительность переходных процессов.

В соответствии со структурной схемой рис.1.


(1.3)

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

(1.4)


Порядок N этого уравнения равен сумме порядков объекта и фильтра:

N=n+k (1.5)

Коэффициенты характеристического уравнения (1.4) связаны с корнями

() этого уравнения известными формулами Виета [2];

(1.6)


Отсюда видно, что задав желаемое расположение корней можно найти желаемые значения коэффициентов характеристического уравнения (1.4) замкнутой системы.

В уравнении (1.4) неизвестными являются коэффициенты полиномов R(p) и G(p).Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, можно получить систему из N уравнений для определения коэффициентов и фильтра.

1.2.Выбор структуры корректирующего фильтра


Необходимым условием разрешимости системы уравнений,полученной из (1.4), является равенство числа уравнений и числа неизвестных:

(1.7)

Здесь=k+n+1 - количество искомых коэффициентов фильтра.

Из (1.5) и (1.7) получим необходимый порядок v числителя фильтра:

n=n-1 (1.8)

Порядок к знаменателя фильтра произволен, но,с учетом реализуемости , не менее порядка n числителя.

k ³ n=n-1 (1.9)

Фильтр наименьший сложности ( наименьшего порядка) реализуется при

k=n=n-1

Увеличение порядка фильтра сверх этого значения может быть использовано, например, для нейтрализации действия высокочастотных шумов, для улучшения качества переходных процессов, для выполнения дополнительных требований к установившимся режимам либо для других целей.



1.3. Выбор желаемого распределения корней


Характеристический полином A(p) замкнутой системы (1.4) имеет порядок, согласно (1.5), N=n+k, где n- порядок обьекта, а к-порядок фильтра. Представим А(p) в виде произведения двух сомножителей:

A(p)=C(p) E(p);

(1.10)

Корни pj, j=1...N уравнения А(р)=0 разделим на две группы ,соответствующие корням уравнений

С(р)=0, pj=p1,.....pn (1.11)


Е(р)=0, pj=pn+1,.....pn+k (1.12)


Свободное движение в системе, вызванное начальными условиями, может быть описано следующим образом [3]:

(1.13)


Первое слагаемое (1.13) соответствует группе корней (1.11), второе - группе корней (1.12).

Если расположить корни на комплексной плоскости так, чтобы группа

(1.12) лежала существенно левее группы (1.11), то динамические свойства системы управления будут определяться первым слагаемым (1.13), т.е. группой корней

(1.11), соответствующих полиному С(р)

max Rе½pi½ < < min Re½pj½ (1.14)

i=1...n j=n+1...,n+k

Оценку быстродействия системы будем производить по степени устойчивости системы h, которую определим как наименьший модуль реальной части среди корней группы (1.11)

Длительность переходного процесса системы оценивается соотношением

, h=Min ½Re pi½ ,i=1. . .n

При назначении желаемого распределения корней нецелесообразно выбирать близкие, а тем более кратные корни, т.к. в этом случае они очень чувствительны к изменению физических параметров системы [4].

Вещественные части корней целесообразно располагать, например, по арифметической прогрессии. Коэффициенты затухания V для колебательных составляющих А(р) рекомендуется назначить в диапазоне 0,5 < V < 1


1.4 Расчет параметров корректирующего фильтра

Основное уравнение (1.4) для расчета параметров с учетом (1.10) можно записать:


А(р)=С(р) Е(р)=D(р) R(p)+B(p) G(p) (1.15)


Здесь полиномы D(р) и B(p) ,(1.1), заданы обьектом управления , полином С(р),(1.10), задан желаемыми динамическими свойствами замкнутой системы управления. Соотношение (1.15) позволяет решать несколько разновидностей задачи синтеза системы управления.


1.4.1 Расчет при свободных параметрах фильтра


Зададим полином E(р), отвечающий условиям (1.14). Это позволяет вычислить все коэффициенты полинома А(р): .

Приняв, в соответствии с (1.9), к=n=n-1, из (1.5) получим N=2n-1.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р в (1.15), получим систему уравнений, определяющую параметры корректирующего фильтра:



(1.16)


Алгебраическая система уравнений (1.16) является линейной неоднородной, и может быть приведена к матричной форме:

H x X =Y (1.17)

Здесь обозначено:

Матрица- столбец Y правых частей с размерностью (2n-1)x1

(1.18)


Искомая матрица-столбец Х с размерностью (2n-1)х1

) (1.19)


Квадратная составная матрица Н коэффициентов обьекта с размерностью

(2n-1)х(2n-1), которую можно представить:

H= (1.20)

В свою очередь, квадратная треугольная нижняя матрица Н1 с размерностью nxn


H1= (1.21)


Прямоугольная матрица Н2 с размерностью nx(n-1)


H2= (1.22)


Прямоугольная матрица Н3 с размерностью (n-1)xn


(1.23)


Квадратная треугольная верхняя матрица Н4 с размерностью (n-1)x(n-1)


(1.24)


Система уравнений (1.17) имеет решение, если


det H ¹0 (1.25)

Из выражений 1.20--1.24 следует несколько частных случаев безусловного выполнения условия (1.25).

Если в числителе передаточной функции объекта не содержится символа р,

т.е. В(р)=b0, то матрица H является верхней треугольной.

Если знаменатель передаточной функции обьекта имеет форму D(p)= , то матрица Н является нижней треугольной.

Если , то матрица Н является диагональной. Поскольку в главной

диагонали матрицы Н отсутствуют нули. то условие (1.25) в этих случаях выполняется. Исследования показывают, что det H =0 в тех случаях, когда полиномы B(p) и D(p) имеют одинаковые корни.

В качестве примера приведем все соотношения для обьекта 5 -го порядка (n=5) и фильтра 4-го порядка (к=4).

;



)


  1. ;