Лекции 2014 и 2010 годы (Конспект ОТУ4 07)

Посмотреть архив целиком

ГЛАВА 4

ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ

ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.


При численном решении линейных стационарных дифференциальных уравнений попытаемся использовать тот факт, что часть общего решения, описывающая свободное движение, имеет простую аналитическую форму, и может быть вычислена точно. Таким образом , погрешность общего решения будет определяться только погрешностями вынужденной части решения. Методы, основанные на этом , будем называть полуаналитическими.


4.1. Решение общего уравнения.


Решение дифференциального уравнения (3.2), соответствующего передаточной функции (3.1), по существу ,сводится к решению вспомогательного дифференциального уравнения с промежуточной переменной z

(4.1)

которому соответствует промежуточная передаточная функция (2.2):

Имея решение по z и ее производным , легко сформировать решение по x , которое, в соответствии с (2.4), имеет вид:

(4.2)

Решение уравнения (4.1) на шаге h z(t+h) с заданными начальными условиями

(4.3)

можно представить в виде [7]:

(4.4)

Здесь:

-общее решение однородного уравнения, соответствующего (4.1)

-частное решение (4.1)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

(4.5)

где определяются начальными условиями (4.3).

Частное решение зависит от вида внешнего возмущения y(t+h), которое можно представить в виде разложения в ряд Тейлора:

(4.6)

При такой форме входного возмущения частное решение можно искать в виде:

(4.7)

Подставив (4.6) и (4.7) в уравнение (4.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h , получим бесконечную систему уравнений с треугольной матрицей ленточного типа, которая при ограничении ряда (4.6) становится конечной и легко разрешимой.

Подставив (4.5) и(4.7) в (4.4) и продифференцировав по h последнее (n-1) раз , получим:

(4.8)

Полагая в (4.8) h=0 и используя (4.3) , будем иметь:

(4.9)

Разрешив уравнение (4.9), используем в (4.8), откуда получим данные для вычисления выходной величины x(t+h) по (4.2) и исходные данные для следующего шага вычислений.


4.2. Решение уравнения первого порядка


В главе 2 было показано, что структурная схема фильтра может быть представлена в виде последовательного (рис.3) или параллельного (рис.4) соединений простейших динамических звеньев первого и второго порядков. Поэтому рассмотрим цифровую реализацию таких звеньев. Звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением:

(4.10)

Решение на шаге будем искать в виде разложения в ряд Тейлора:

(4.11)

Производные , присутствующие в (4.11), вычислим в силу уравнения (4.10):

(4.12)

Подставив производные (4.12) в (4.11), будем иметь:

(4.13)

Из (4.13), с учетом разложения экспоненты (3.26),можно получить:

(4.14)

Здесь:

(4.15)

Первое слагаемое в (4.14) характеризует собственное движение звена, второе-вынужденное. Все коэффициенты (4.15) в правой части (4.14) могут быть вычислены заранее и точно. Таким образом , погрешность решения(4.14) на шаге h определяется только неучтенными членами разложения и погрешностями производных от входной величины y , представленной дискретными отсчетами.


4.3.Решение уравнения второго порядка.


В главе 2 , соотношения (2.20)--(2.22), показано, что паре комплексных корней характеристического уравнения фильтра в структурной схеме рис.4 соответствует и пара звеньев первого порядка с комплексными коэффициентами, которые, однако, сворачиваются в звено второго порядка с вещественными коэффициентами, с передаточной функцией (2.21).

Соответствующее дифференциальное уравнение приведем к виду :

(4.16)

Здесь, в соответствии с (2.20) и (2.21) обозначено:

(4.17)

Вспомогательное уравнение (4.1) будет иметь вид:

(4.18)

Основная переменная х связана с промежуточной переменной z соотношением:

(4.19)

Решение на шаге h уравнения (4.18) представим в виде

(4.20)

Здесь

-общее решение однородного уравнения


-частное решение неоднородного уравнения (4.18).

При комплексных корнях характеристического уравнения

(4.21)

Входную переменную представим в виде ряда Тейлора:

(4.22)

При этом частное решение будем искать в виде:

(4.23)

Подставив (4.23) и (4.22) в (4.18) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях к h до второго порядка включительно, найдем:

(4.24)

Подставив (4.21) и (4.23) в (4.20), получим:

(4.25)

Положим в (4.25) h=0

(4.26)

Уравнения (4.26) определяют коэффициенты А и В:

(4.27)

Представленные выше соотношения позволяют построить алгоритм вычисления на шаге.

1. Из предыдущих шагов вычислений известны z(t),, а также измеренная величина y(t).

2. По некоторому алгоритму вычисляются приближенные значения производных от входной величины