Лекции 2014 и 2010 годы (Лекц.Мод.сист)

Посмотреть архив целиком

56



ÁЙ1¿11က11؀1

橢橢㋏㋏222222222Й鱛墭222222222222Q222￿2222￿ᄂ2222￿ᄂ2222222222Ҙ222Ҙ2Ҙ222Ҙ222԰222԰222԰222222Մ2222222222822ʤ22ì2Մ2222ö2222"22222222222Ȯ2繿2¼22`2222222222222222222222ɒ22X22ƹ222222222԰222222222222222¸22222222222222222Ҙ222Ҙ22222222222п22222222222222Ҙ2l2222԰22222222222222222222222222222222222222222222222À22222222Ԅ2,2԰22222222222222222222222222222222222222

3ꋙ꒿Lj3333333333333333<3303333333333ʤ33333333333Մ333Մ333Ҙ333Ҙ333Ҙ333Ҙ333333333333333333԰3333(33333333333333333333333333333333333333333333333Մ333Մ33333333333Մ333Մ333333ā33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333





ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

(9 – й Семестр)





Кафедра ИУ—3, Проф. Боевкин Виктор Иванович



































Введение



Термин « моделирование » имеет очень широкое применение и означает абстрактное воспроизведение интересующих нас свойств некоторого устройства или процесса с целью их изучения. Необходимо, чтобы «модель» достаточно точно совпадала с объектом именно в изучаемой области свойств. Несовпадение других свойств не имеет значения.

Во многих областях техники используются геометрические модели, воспроизводящие в натуральную величину или в масштабе внешний вид и (или) внутреннее устройство архитектурных сооружений, автомобилей, кораблей, самолетов, кинематических схем механизмов и т. д. По таким моделям изучается и корректируется внешний вид, функционирование кинематических схем. При известных критериях подобия по геометрическим моделям изучаются гидро- и аэро-динамические свойства объектов.

Наиболее абстрактни ликвидировать внештатные и аварийные ситуации.

Для определения статистических характеристик сложных систем, находящихся под воздействием случайных воздействий, применяется статистическое моделирование.

В этом случае моделирование проводится многократно, при различных реализациях случайных воздействий, что позволяет получить статистические характеристики изучаемой системы.

При проведении моделирования главным вопросом является его достоверность, что связано с оценкой погрешностей моделирования и их минимизацией.

Проведение экспериментов при моделировании связано с большим количеством измерений. Выбор измерительных приборов и анализ влияния их погрешностей на результаты моделирования – необходимый этап работы.

В процессе проведения экспериментов возникают помехи или шумы, чаще всего электрического характера. Оценка уровня помех и их влияния на погрешности моделирования, фильтрация помех с целью минимизации их влияния – также необходимы.



При математическом моделировании сложной динамической системы необходимо правильно выбрать математическое описание этой системы. Дело в том, что математическое описание любого реального объекта может быть сколь угодно сложным. Если учитывать, например, распределенные параметры всех узлов объекта, таких, как вращающиеся валы – потребуется описание ввиде систем уравнений в частных производных. Реализация таких моделей с помощью обычных вычислительных средств становится затруднительной или даже невозможной.

Слишком простое математическое описание может привести к ошибкам не только количественного, но и качественного характера, например – неправильной оценке факта устойчивости.

Таким образом, математическое описание моделируемой системы должно быть адекватным решаемой задаче.

При выбранном математическом описании необходимо правильно выбрать вычислительные средства и программы, обеспечивающие достаточно точное решение. Для этого необходимо уметь правильно оценивать погрешности при решении конкретной задачи.

При проведении полунатурного моделирования необходимо оценивать и минимизировать погрешности решения, вызванные неидеальностью преобразующих устройств.



























Раздел 1. Фильтрация помех при моделировании

1.1 Алгоритм разложения сигнала по неортогональному базису

При обработке экспериментальных функций времени может возникнуть необходимость представления этих функций в виде аналитических выражений. Непрерывный процесс f(t), определенный на интервале T, можно разложить по заранее выбранной системе базисных функций ф1(t)…фn(t), где n – число базисных функций. Разложение S(t) имеет вид:



S(t) = ; f(t) = S(t) + d(t) (1.1) Здесь d(t) = f(t) – S(t) (1.2)

-ошибка разложения

Введем понятие энергии Ey функции (сигнала) y(t):

Ey = (1.3)

В качестве критерия, характеризующего удаление S(t) от f(t) на интервале T, то-есть характеризующего качество разложения, примем энергию ошибки

Ed = (1.4)

При заданных f(t) , T и фi(t) энергия ошибки является функцией от коэффициентов Ci разложения. Коэффициенты разложения будем выбирать из условия минимума энергии ошибки, для чего приравняем нулю частные производные

= 0 ; i = 1…n . (1.5)

Из (4) и (2) можно получить:

Ed = = Ef – A + Es ; (1.6)

Ef = , A = -2 , Es =

С учетом (6) уравнения (5) станут:

= - + = 0; i = 1…n (1.7)

Используя (1) и (6) , выпишем частные производные:

= 0; = 2 (1.8)

= 2 ; = фi (t)

Подставив (8) в (7), получим:

= Vi; i = 1…n . (1.9)

Здесь введены обозначения:

Ui,k = ; Vi = . (1.10)



Линейная алгебраическая неоднородная система уравнений (9) вместе с обозначениями (10) определяет значения коэффициентов разложения Ci , при которых энергия Ed ошибки разложения минимальна. Используя обозначения (10), энергию ошибки (4) при произвольных значениях коэффициентов Ci можно представить:

Ed = Ef – 2 + . (1.11)

При оптимальных значениях коэффициентов, вычисленных из (9), энергия ошибки (11) имеет вид:

Ed = Ef - = Ef –Es . (1.12)

Приведенные выше результаты имеют достаточно прозрачное геометрическое представление. Введем в рассмотрение пространство H (бесконечномерное), элементами которого являются функции, определенные на интервале T, и удовлетворяющие условиям Дирихле, то – есть ограниченные и имеющие конечное число экстремумов и разрывов первого рода. Любая такая функция представляется в пространстве H точкой или, что эквивалентно, вектором. Определим скалярное произведение двух векторов в пространстве H следующим образом:

= (1.13)

Пространства, в которых определена операция скалярного произведения, называются Гильбертовыми. Они обладают геометрическими аналогиями, вследствие которых суждения, полученные из геометрического рассмотрения, имеют силу доказательств. Квадрат модуля любого сигнала y(t) в пространстве H равен энергии этого сигнала, что видно из определений энергии (3) и cкалярного произведения (13):