Лекции 2014 и 2010 годы (Лекции ОТУ_2010)

Посмотреть архив целиком

23

Лекции ОТУ


Московский Государственный Технический Университет им.Баумана

(МГТУ им.Баумана)

Факультет Информатика и системы управления


Кафедра Информационные системы и коммуникации (ИУ-3)













ЛЕКЦИИ по курсу “ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ”

Кафедра ИУ-3, 2-й курс, 4-й семестр.




Автор: Боевкин Виктор Иванович





















Москва 2009

Оглавление


ВВЕДЕНИЕ


РАЗДЕЛ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ АНАЛОГОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

1.1 Общие соотношения

1.2. Выбор структуры корректирующего фильтра

1.3. Выбор желаемого распределения корней

1.4. Расчет параметров корректирующего фильтра

1.4.1 Расчет при свободных параметрах фильтра

1.4.2. Расчет параметров при заданном знаменателе фильтра.

1.4.3. Расчет параметров идеализированной системы

1.4.4. Расчет параметров фильтра в приращениях.


РАЗДЕЛ 2. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ

2.1. Схема с цепочкой интеграторов

2.2. Последовательное соединение простейших динамических звеньев

2.3. Параллельное соединение простейших динамических звеньев


РАЗДЕЛ 3. ОПЕРАТОРНЫЕ ИЛИ ПОДСТАНОВОЧНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ

3.1. Метод конечных разностей

3.2. Цифровые интеграторы.

3.2.1. Интерполяционный метод прямоугольников.

3.2.2. Экстраполяционный метод прямоугольников.

3.2.3. Интерполяционный метод трапеций (Метод Тастина)

3.2.4. Экстраполяционный метод трапеций.

      1. Качественное сравнение цифровых интеграторов

3.3. Оценка погрешностей операторов цифровых интеграторов.


РАЗДЕЛ 4. ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ

ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.

4.1. Решение общего уравнения.

4.2. Решение уравнения первого порядка

4.3. Решение уравнения второго порядка.

РАЗДЕЛ 5. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДОВ

ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

5.1 Точное решение на шаге.

5.2. Погрешности интерполяционного метода прямоугольников.

5.3. Погрешности экстраполяционного метода прямоугольников.

5.4. Погрешности метода Тастина

5.5. Ошибки полуаналитических методов.

5.5.1. Вычисление производных.

5.5.2. Экстраполяционный полуаналитический метод.

5.5.3. Интерполяционный полуаналитический метод.


РАЗДЕЛ 6. РАБОТА ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

6.1. Влияние запаздывания при интерполяционных алгоритмах.

6.2. Влияние запаздывания при экстраполяционных алгоритмах.

6.3. Цифровое моделирование замкнутой системы, не связанное с реальным временем.























ВВЕДЕНИЕ


В курсе лекций рассмотрено проектирование цифровой системы управления аналоговым объектом, которое начинается с выбора линейного фильтра, обеспечивающего для заданного объекта нужные динамические свойства системы. Далее рассмотрены различные аспекты цифровой реализации фильтра, связанные с работой в реальном времени. Производится сравнительный анализ различных алгоритмов, в том числе полуаналитических, по точности и запаздыванию. Рассмотрены вопросы моделирования цифро-аналоговой системы управления. В приложениях дается перечень возможных задач для исследования.



РАЗДЕЛ 1


АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ АНАЛОГОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ


1.1 Общие соотношения


Рассмотрим, как в [1] ,одноконтурную систему управления со структурной схемой, представленной на рис.1, где обозначено:

- передаточная функция объекта управления (неизменяемая часть системы);

- передаточная функция корректирующего фильтра.


Uвх Y Х U

(p)

Wо(p)






рис.1

Структурная схема системы управления


Пусть имеет достаточно произвольный вид:

(1.1)

Здесь m и n - порядки полиномов числителя и знаменателя соответственно;

bi и di известные коэффициенты, причем

dn = 1; m n – 1


Последовательно с объектом включен корректирующий фильтр с передаточной функцией:

(1.2)

Здесь ν и k - порядки полиномов числителя и знаменателя фильтра соответственно;

gj и rj коэффициенты, подлежащие определению из требований к динамическим свойствам системы, причем:


При заданном объекте попытаемся подобрать такой фильтр, который обеспечил бы произвольное расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы, т.е. обеспечил бы произвольное качество и длительность переходных процессов.

В соответствии со структурной схемой рис.1.


(1.3)

Характеристическое уравнение замкнутой системы:


(1.4)


Порядок N этого уравнения равен сумме порядков объекта и фильтра:


N = n + k (1.5)

Коэффициенты характеристического уравнения (1.4) связаны с корнями этого уравнения известными формулами Виета [2];

(1.6)


Отсюда видно, что задав желаемое расположение корней можно найти желаемые значения коэффициентов характеристического уравнения (1.4) замкнутой системы.

В уравнении (1.4) неизвестными являются коэффициенты полиномов R(p) и G(p). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, можно получить систему из N уравнений для определения коэффициентов и фильтра.



1.2. Выбор структуры корректирующего фильтра


Необходимым условием разрешимости системы уравнений, полученной из (1.4), является равенство числа уравнений и числа неизвестных:

(1.7)

Здесь - количество искомых коэффициентов фильтра.

Из (1.5) и (1.7) получим необходимый минимальный порядок ν числителя фильтра:

= n - 1 (1.8)

Порядок k знаменателя фильтра произволен, но,с учетом реализуемости , не менее порядка числителя.

k = n - 1

Фильтр наименьший сложности ( наименьшего порядка) реализуется при

k = = n – 1 (1.9)

Увеличение порядка фильтра сверх этого значения может быть использовано, например, для нейтрализации действия высокочастотных шумов, для улучшения качества переходных процессов, для выполнения дополнительных требований к установившимся режимам либо для других целей.


1.3. Выбор желаемого распределения корней

Характеристический полином A(p) замкнутой системы (1.4) имеет порядок, согласно (1.5), N = n + k, где n - порядок объекта, а k - порядок фильтра. Представим А(p)

в виде произведения двух сомножителей:

(1.10)

Корни pj, j = 1...n+k уравнения А(р) = 0 разделим на две группы, соответствующие корням уравнений

С(р)=0,… p1,.....pn (1.11)


L(р) = 0,… pn+1,.....pn+k (1.12)


Свободное движение в системе, вызванное начальными условиями, может быть описано следующим образом [3]:

Постоянные коэффициенты определяются начальными условиями.

Первое слагаемое этого выражения соответствует группе корней (1.11), второе - группе корней (1.12). Для устойчивой системы, разумеется, все корни должны иметь отрицательные вещественные части.

Если расположить желаемые корни на комплексной плоскости так, чтобы группа корней (1.12) лежала существенно левее группы (1.11), то динамические свойства системы управления будут определяться первым слагаемым (1.13), т.е. группой корней

(1.11), соответствующих полиному С(р) = 0:

max Rеpi min Repj ; i = 1...n ; j=n+1...,n+k (1.13)

Оценку быстродействия системы будем производить по степени устойчивости системы , которую определим как наименьший модуль реальной части среди всех корней. Длительность T переходного процесса системы оценивается соотношением

, = min Re( pi) , i = 1. . .n (1.14)

При назначении желаемого распределения корней нецелесообразно выбирать близкие, а тем более кратные корни, т.к. в этом случае они очень чувствительны к изменению физических параметров системы [4].

Вещественные части корней целесообразно располагать, например, по арифметической прогрессии. Коэффициенты затухания для колебательных составляющих А(р) рекомендуется назначить в диапазоне .


1.4. Расчет параметров корректирующего фильтра

Основное уравнение (1.4) для расчета параметров с учетом (1.10) можно записать:


А(р) = С(р) L(р) = D(р) R(p) + B(p) G(p) (1.15)


Здесь полиномы D(р) и B(p) , (1.1), заданы объектом управления , полином С(р), (1.10), задан желаемыми динамическими свойствами замкнутой системы управления,

полином L(p) удовлетворяет условиям (1.13). Соотношение (1.15) позволяет решать несколько разновидностей задачи синтеза системы управления.



1.4.1 Расчет при свободных параметрах фильтра


Зададим полиномы C(p) и L(р) , отвечающие условиям (1.13). Это позволяет вычислить все коэффициенты полинома А(р): .

Приняв, в соответствии с (1.9), k = = n - 1, из (1.5) получим N = 2n - 1.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р в (1.15), получим систему уравнений, определяющую параметры корректирующего фильтра:



(1.16)


Алгебраическая система уравнений (1.16) является линейной неоднородной, и может быть приведена к матричной форме:

H * X =Y (1.17)

Здесь обозначено:

Матрица- столбец Y правых частей с размерностью (2n-1)*1:

(1.18)


Искомая матрица-столбец Х с размерностью (2n-1)*1:

) (1.19)


Квадратная составная матрица Н коэффициентов объекта с размерностью

(2n-1)*(2n-1), которую можно представить:

(1.20)

В свою очередь, квадратная треугольная нижняя матрица Н1 с размерностью n*n

(1.21)


Прямоугольная матрица Н2 с размерностью n*(n-1)


(1.22)


Прямоугольная матрица Н3 с размерностью (n-1)*n

(1.23)


Квадратная треугольная верхняя матрица Н4 с размерностью (n-1)*(n-1)


(1.24)


Система уравнений (1.17) имеет решение, если


det H 0 (1.25)

Из выражений 1.20--1.24 следует несколько частных случаев безусловного выполнения условия (1.25).

Если в числителе передаточной функции объекта не содержится символа р,

т.е. В(р) = b0, то матрица H является верхней треугольной.

Если знаменатель передаточной функции объекта имеет форму D(p) = pn, то матрица Н является нижней треугольной.

Если , то матрица Н является диагональной. Поскольку в главной

диагонали матрицы Н отсутствуют нули. то условие (1.25) в этих случаях выполняется. Исследования показывают, что det H = 0 в тех случаях, когда полиномы B(p) и D(p) имеют одинаковые корни.

В качестве примера приведем все соотношения для объекта 5 -го порядка (n = 5) и фильтра 4-го порядка (k = 4).

Wф =



;



Из приведенного примера видны все особенности построения системы уравнений (1.17)



1.4.2. Расчет параметров при заданном знаменателе фильтра.


При технической реализации аналогового корректирующего фильтра может оказаться, что его знаменатель R(p) задан динамическими свойствами операционных усилителей, на которых строится фильтр.

В этих условиях в соотношении (1.15) известными полиномами являются С(р), D(p), R(p),B(p), а неизвестными G(p) и L(p).

Перепишем (1.15) следующим образом:

=D(p) R(p)=C(p) L(p)-B(p) G(p)

Здесь коэффициенты полинома вычисляются из произведения известных полиномов D(p) и R(p).Сравнивая (1.15) с последним соотношением можно видеть их эквивалентность с точностью до обозначений полиномов. Отсюда следует, что для нахождения коэффициентов неизвестных полиномов G(p) и L(p) можно получить систему уравнений типа (1.17).

После определение параметров полинома L(p) и его корней необходимо проверить соотношение (1.13).

1.4.3. Расчет параметров идеализированной системы


При аналитическом синтезе системы управления часто оказывается полезным предварительная оценка параметров для идеализированных фильтра и обьекта. Идеализированным назовем фильтр, лишенный инерционных свойств. Передаточная функция (4.2) при этом будет:

(1.26)

Идеализированным объектом назовем такой объект, у которого нет символа р в числителе передаточной функции (1.1):

(1.27)

В этих условиях порядок системы равен порядку объекта:

N = n

Характеристический полином замкнутой системы (1.10) будет иметь вид:

A(p) =C(p)l0

Уравнение (1.15) перепишем для идеализированного случая:

(1.28)

Отсюда следует решение:


(1.29)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в последнем соотношении, получим систему уравнений, разрешенную относительно параметров идеализированого фильтра:

(1.30)


1.4.4. Расчет параметров фильтра в приращениях.


Опираясь на решение (1.29) и (1.30) задачи с идеализированными объектом и фильтром, вернемся к реальной задаче (1.15).

Представим числитель G(p) фильтра в виде

(1.31)

Здесь берется из (1.29), а - искомый полином.

Знаменатель R(p) фильтра представим:

(1.32)


Здесь L(p) - полином, удовлетворяющий условиям (1.13).

Подставив(1.31) и (1.32) с учетом (1.29) в (1.15), получим соотношение (1.33)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в (1.33.), получим систему уравнений, аналогичную (1.16), из которых определяются коэффициенты полиномов G(p) и R(p). Выражения (1.31) и (1.32) позволяют теперь получить числитель G(p) и знаменатель R(p) передаточной функции (1.2) корректирующего фильтра.

Расчеты показывают, что при выполнении усиленного неравенства (1.13), коэффициенты полиномов G(р) и R(p) оказываются малыми ,т.е.




Оглавление раздела 1


Введение

Раздел 1 . Алгебраический синтез аналоговой системы управления

1.1.Общие соотношения

1.2. Выбор структуры корректирующего фильтра

1.3. Выбор желаемого распределения корней характеристического уравнения замкнутой системы

1.4. Расчет параметров корректирующего фильтра

1.4.1. Расчет при свободных параметрах фильтра

1.4.2. Расчет параметров при заданном знаменателе фильтра

1.4.3. Расчет параметров идеализированной системы

1.4.4 Расчет параметров фильтра в приращениях



РАЗДЕЛ 2


СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ

Выше было показано, что построение системы управления сводится к включению последовательно с объектом корректирующего фильтра с передаточной функцией:

(2.1)

После решения задачи синтеза коэффициенты передаточной функции становятся известными. Для реализации фильтра типа (2.1) можно использовать несколько структурных схем, рассмотренных далее.


2.1. Схема с цепочкой интеграторов


Передаточная функция фильтра (2.1) равна отношению изображений Лапласса выходного и входного сигналов фильтра при нулевых начальных условиях.

Введем промежуточную переменную z , связанную с y промежуточной

передаточной функцией W*):

(2.2)


Структурная схема реализации W*(р) , состоящая из цепочки к интеграторов представлена на Рис. 2.


Х






y Z

. . .











Рис.2


Переменные на входах интеграторов схемы рис 2. суть производные соответствующего порядка от z. Таким образом, в схеме присутствует набор сигналов


z , p z , p2 z , ... , pk z (2.3)


Сформируем из набора сигналов (2.3) сигнал х:

(2.4)

Подставив в (2.4) z из (2.2), получим:

(2.5)

Сравнивая (2.1) и (2.5) можно видеть, что структурная схема Рис.2 реализует передаточную функцию (2.1) корректирующего фильтра.


2.2 Последовательное соединение простейших динамических звеньев.


Обозначим корни уравнений R(p) = 0 и G(p) = 0 через

и (2.6)

соответственно.

Передаточную функцию фильтра (2.1) при этом можно записать:


(2.7)

Выражение (2.7) можно трактовать как последовательное соединение динамических звеньев двух типов:


(2.8)

Структурная схема такого соединения представлена на Рис. 3.


y x

  ... ...



Рис. 3


Если среди величин sj или pi есть комплексно - сопряженные пары, то соответствующие этим парам передаточные функции (2.8) комбинируются в звенья второго порядка с вещественными коэффициентами.

Пусть

и (или) (2.9)

Тогда возможны следующие комбинации звеньев:

(2.10)





Из (2.10) с учетом (2.9) видно, что все коэффициенты передаточных функций вещественны как при вещественных, так и при комплексных значениях корней (2.6).


2.3 Параллельное соединение простейших динамических звеньев.


Передаточную функцию фильтра (2.1) с учетом (2.7) запишем в следующем виде:

(2.11)


Представим в виде суммы простейших слагаемых и приведем ее к общему знаменателю:

(2.12)

Здесь:

(2.13)


Для выполнения (2.12) необходимо, чтобы


(2.14)


Для выполнения равенства полиномов (2.14) достаточно приравнять их при k+1 значениях р . В качестве таковых примем:


p = p1, p = p2, ...p = pk; p = (2.15)


Из (2.13) видно, что


(2.16)

Последнее равенство в (2.16) получено из правила Лопиталя.

Из (2.14), для значений (2.15), с учетом (2.16) получим:

(2.17)


Таким образом, выражение (2.12) позволяет трактовать передаточную функцию фильтра, как параллельное соединение простейших динамических звеньев типа (2.8) с коэффициентами, вычисляемыми по (2.17). Структурная схема такого соединения представлена на Рис.4.


х1

y

. . .





Рис. 4.

Параллельная структура схемы фильтра


При наличии комплексно-сопряженных корней соответствующие им коэффициенты также являются комплексно-сопряженными числами , что видно из(2.17).


Пусть

(2.18)

С учетом (2.1 8)

(2.19)


Здесь:



Таким образом, структурная схема фильтра, рис 4, представляет собой параллельное соединение простейших динамических звеньев с передаточными функциями типа (2.8) и (2.19).



2.4. Оглавление раздела 2


Раздел 2. Структурные схемы линейных корректирующих фильтров

2.1. Схема с цепочкой интеграторов

2.2. Последовательное соединение простейших динамических звеньев

2.3. Параллельное соединение простейших динамических звеньев





РАЗДЕЛ 3


ОПЕРАТОРНЫЕ или подстановочные АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ


РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ


Цифровая реализация корректирующего фильтра с передаточной функцией


(3.1)


связана с численным решением соответствующего дифференциального уравнения:


(3.2)


Для получения численного решения, дискретного по своей природе, вводится дискретное время

(3.3)

Здесь h - шаг дискретизации, k - числа из натурального ряда.

Необходимо построить разностное уравнение, решение которого было бы достаточно близко к точному решению уравнения (3.2) в моменты времени (3.3).

Общая форма записи линейного разностного уравнения n - го порядка имеет следующий вид [5]:

(3.4)

Здесь uj и νi -- постоянные коэффициенты.

Уравнение (3.4), по существу, является алгоритмом вычисления очередного

(к-того) отсчета х(к), для чего необходимо иметь в памяти машины n предыдущих отсчетов х(к-1),...х(к-n), вычисленных ранее, и m+1 отсчетов

y(k), y(k-1)...y(k-m) входной величины, поступающих извне.

Существует множество методов вычисления коэффициентов разностного уравнения (3.4) по коэффициентам исходного уравнения (3.2), простейшим из которых является метод конечных разностей.


3.1. Метод конечных разностей


Идея метода конечных разностей заключается в том, что производные в уравнении (3.2) приблизительно заменяются конечными разностями отсчетов, отнесенными к шагу дискретизации h:

(3.5)


Аналогично вычисляются и производные от входной величины y(k).

Подставив приближенные выражения (3.5) производных по входу и выходу в уравнение (3.2) и собрав коэффициенты при одинаковых отсчетах, получим разностное уравнение (3.4).

Проиллюстрируем метод на уравнении второго порядка.

(3.6)

Подставим сюда приближенные выражения для производных (3.5) по входу и выходу:

Отсюда, собрав коэффициенты при одинаковых отсчетах, получим:

Умножив это уравнение на h2 и поделив на коэффициент при x(k), получим разностное уравнение типа (3.4) с коэффициентами:


(3.7)


Обозначим z - преобразования последовательностей x(k) и y(k) через X(z) и Y(z)

соответственно. Применим к разностному уравнению (3.4) операцию z – преобразования, что эквивалентно использованию оператора z сдвига (опережения):

(3.8)


Из (3.4) и (3.8) можем получить:


Умножив обе части равенства на zn, cформируем дискретную передаточную функцию:


(3.9)


Переход от непрерывной передаточной функции (3.1) к дискретной передаточной функции (3.9) по методу конечных разностей производится с использованием линейных операций, поэтому он может быть сведен к замене операторов в соответствии с (3.5).

Итак, из (3.5)

Используя оператор дифференцирования р и оператор сдвига , из последнего выражения можно получить:

Отсюда

(3.10)

Заменив в передаточной функции (3.1) оператор р выражением (3.10), получим дискретную передаточную функцию (3.9), коэффициенты которой сформированы по методу конечных разностей.

Для уравнения (3.6) второго порядка:



Подставим сюда (3.10) и проделаем очевидные преобразования:



Поделив в последнем соотношении числитель и знаменатель на коэффициент при z2 знаменателя, получим:


(3.11)


Сравнивая коэффициенты (3.7) и (3.11) можно видеть их равенство. Это означает, что переход от дифференциального уравнения типа (3.2) [в частности (3.6)] к разностному уравнению (3.4) [в частности (3.7)] методом конечных разностей эквивалентен переходу от аналоговой передаточной функции (3.1) к дискретной передаточной функции (3.9) путем замены оператора (3.10).


3.2. Цифровые интеграторы.


Выше было показано, что метод конечных разностей сводится для линейных уравнений к замене оператора дифференцирования р приближенным соотношением (3.10).

В свою очередь, это можно трактовать, как замена оператора интегрирования:


(3.12)


Рассмотрим некоторые способы численного интегрирования и соответствующие им операторы. Операция интегрирования может быть записана в виде уравнения и передаточной функции интегратора w(p):

(3.13)


Точное решение уравнения (3.13) на шаге h имеет вид:


На Рис.5. величина представлена площадью под кривой y(t+τ)



y(t) y(t+h)


y(t)



t


k

x(k) t t+h

x(k+1)

x(k) x

t


k k+1 k

Рис5. Интегрирование на шаге h.



При дискретном по времени представлении величин значения y(t+) внутри шага h неизвестны, поэтому вычислить точное значение интеграла невозможно. Приближенно значение можно вычислить несколькими способами. Рассмотрим некоторые из них.


3.2.1.Интерполяционный метод прямоугольников.

В этом методе интегрируемая функция y(t+τ) на интервале h принимается постоянной, равной значению y(t+h).Приближенное значение интеграла при этом вычисляется по формуле:



Применяя к этому соотношению операцию z - преобразования, получим:


(z-1)X(z) = hzY(z)


Отсюда получим дискретную передаточную функцию цифрового интегратора, построенного по интерполяционному методу прямоугольников:


(3.14)

Здесь - оператор приближенного интегрирования (аналог ) и D -оператор приближенного дифференцирования, являющийся аналогом оператора дифференцирования р .

Сравнивая (3.10) и (3.12) с (3.14) видим, что метод конечных разностей и интерполяционный метод прямоугольников эквивалентны.



3.2.2.Экстраполяционный метод прямоугольников.


Интегрируемая функция y(t+τ) на интервале h принимается постоянной, равной значению y(t). Тогда

x(t+h)=x(k+1)=x(k)+hy(k)

Отсюда, используя операцию z - преобразования, получим дискретную передаточную функцию цифрового интегратора, построенного по экстраполяционному методу прямоугольников:

(3.15)


3.2.3.Интерполяционный метод трапеций (Метод Тастина)


Интегрируемая функция y(t+) на интервале h принимается линейной, соединяющей точки y(t) и y(t+h).

В этом случае


Отсюда:


(3.16)



3.2.4.Экстраполяционный метод трапеций.


Интегрируемая функция y(t+) на интервале h принимается линейной, соединяющей точки y(t-h) и y(t), что иллюстрируется рис.6.


y

y(t+)



y(t)



y(t-h)




t-h t t+h

t

k-1 k k+1 k

h h


Рис.6. Интегрирование экстраполяционным методом трапеций.



В этом случае

Отсюда, используя z - преобразование:

(3.17)


      1. Качественное сравнение цифровых интеграторов



Построение дискретной передаточной функции W(z) (3.9) подстановочными методами, cоответствующей непрерывной передаточной функции Wф (p) (3.1), сводится к замене оператора р приближенным оператором D, например , одним из перечисленных выше.

Легко видеть, что применение оператора (3.15) сохраняет порядок n знаменателя и m числителя в дискретной передаточной функции.

Операторы (3.14) и(3.16), независимо от m приводят к одинаковым порядкам числителя и знаменателя W(z), равным n.

Оператор (3.22) удваивает порядок знаменателя W(z), а порядок числителя делает равным (n+m). Обобщая вышесказанное можно сделать следующие заключения:

а) Если порядок числителя и знаменателя оператора D одинаков, то порядки числителя и знаменателя W(z) тоже одинаковы, независимо от m.

Это означает, что к вычислению очередного, (k+1)-го, отсчета x(k+1) можно приступить только тогда, когда в ЦВМ поступит y(k+1).

б) Если порядок знаменателя D хотя бы на единицу меньше порядка его числителя, то при m n порядок числителя W(z) меньше порядка его знаменателя.

Из этого следует, что вычиcление x(k+1) можно начинать сразу же после поступления в ЦВМ отсчета y(k).

При работе ЦВМ в реальном времени случай б) имеет перед случаем а) большое преимущество ввиде резерва времени величиной в h.

в) При порядке числителя оператора D, большем единицы, в передаточной функции W(z) возникают дополнительные, паразитные, корни характеристического уравнения, что может привести к большим искажениям полученного результата, вплоть до потери устойчивости решения.


3.3. Оценка погрешностей операторов цифровых интеграторов.


Если в передаточной функции W(p) оператор р выполняется с малой погрешностью р, то малую погрешность передаточной функции можно записать:

(3.23)

Операторы D цифровых интеграторов, являются приближенными выражениями оператора р, поэтому можно записать:


(3.24)

Выражение (3.9) дает точную зависимость операторов р и z :

(3.25)

Приведем известные [6] разложения в ряды экспоненциальной и логарифмической функций.

(3.26) (3.27)


(3.28)


(3.29)


Сопоставляя (3.18) с (3.26) и (3.27) с учетом (3.25) можно видеть, что для экстраполяционного метода прямоугольников оператор D определяется первыми двумя членами рядов (3.26) и(3.27). Из (3.24) и (3.26)можно получить выражение для экстраполяционного метода прямоугольников:

(3.30)


Здесь - относительная погрешность оператора D.

Оператор D для интерполяционного метода прямоугольников соответствует первому члену ряда (3.28) .Из (3.16), (3.24), (3.25) и (3.28) получим:


(3.31)


Оператор D для Метода Тастина соответствует первому члену ряда (3.29). После некоторых преобразований, из (3.20), (3.24), (3.26), (3.29) можно получить:


(3.32)


Для экстраполяционного метода трапеций ошибку оператора D получим путем непосредственных вычислений из соотношений (3.24), где D взято из (3.22)


(3.33)


Используя разложение (3.26), после некоторых преобразований получим:

Отсюда, с учетом (3.33):


(3.34)


Сравнивая выражения (3.30)--(3.34) для погрешностей, можно видеть, что методы прямоугольников равноценны по точности и имеют первый порядок малости погрешностей по h.

Методы трапеций имеют второй порядок малости погрешностей, однако метод Тастина несколько точнее.

При необходимости работать в реальном времени экстраполяционные методы имеют преимущество.







РАЗДЕЛ 4


ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ


ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ.


При численном решении линейных стационарных дифференциальных уравнений попытаемся использовать тот факт, что часть общего решения, описывающая свободное движение, имеет простую аналитическую форму, и может быть вычислена точно. Таким образом , погрешность общего решения будет определяться только погрешностями вынужденной части решения. Методы, основанные на этом , будем называть полуаналитическими.


4.1. Решение общего уравнения.


Решение дифференциального уравнения (3.2), соответствующего передаточной функции (3.1), по существу, сводится к решению вспомогательного дифференциального уравнения (4.1) с промежуточной переменной z


, (4.1)


которому соответствует промежуточная передаточная функция (2.2):



Имея решение по z и ее производным , легко сформировать решение по x , которое, в соответствии с (2.4), имеет вид:


(4.2)


Решение уравнения (4.1) на шаге h z(t+h) с заданными начальными условиями


(4.3)


можно представить в виде [7]:


(4.4)

Здесь:

-общее решение однородного уравнения, соответствующего (4.1)

-частное решение (4.1)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

, (4.5)

где определяются начальными условиями (4.3).

Частное решение зависит от вида внешнего возмущения y(t+h), которое можно представить в виде разложения в ряд Тейлора:

(4.6)


При такой форме входного возмущения частное решение можно искать в виде:

(4.7)


Подставив (4.6) и (4.7) в уравнение (4.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h , получим бесконечную систему уравнений с треугольной матрицей ленточного типа, которая при ограничении ряда (4.6) становится конечной и разрешимой относительно из (4.7). Для уравнения четвертого порядка (n = 4) и при отбрасывании в разложении (4.6) членов выше , получим:


Подставив (4.5) и (4.7) в (4.4) и продифференцировав по h последнее (n-1) раз, получим:

(4.8)

Полагая в (4.8) h=0 и используя (4.3) , будем иметь:

(4.9)


Разрешив уравнение (4.9), используем в (4.8), откуда получим исходные данные для следующего шага вычислений и данные для вычисления выходной величины x(t+h) по (4.2).

4.2. Решение уравнения первого порядка


В главе 2 было показано, что структурная схема фильтра может быть представлена в виде последовательного (рис.3) или параллельного (рис.4) соединений простейших динамических звеньев первого и второго порядков. Поэтому рассмотрим цифровую реализацию таких звеньев, из которых можно формировать цифровые фильтры произвольной сложности.

Звено первого порядка, соответствующее к- тому вещественному корню, описывается дифференциальным уравнением:


(4.10)


Решение на шаге будем искать в виде разложения в ряд Тейлора:


(4.11)


Производные , присутствующие в (4.11), вычислим в силу уравнения (4.10):


(4.12)

Подставив производные (4.12) в (4.11), будем иметь:


(4.13)


Из (4.13), с учетом разложения экспоненты (3.26),можно получить (4.14)


Здесь:

(4.15)


Первое слагаемое в (4.14) характеризует собственное движение звена, второе- вынужденное. Все коэффициенты (4.15) в правой части (4.14) могут быть вычислены заранее и точно. Таким образом, погрешность решения (4.14) на шаге h определяется только неучтенными членами разложения (4.11) и погрешностями вычисления производных от входной величины y(t), представленной дискретными отсчетами.


4.3. Решение уравнения второго порядка.


В главе 2, соотношения (2.20)--(2.22), показано, что паре комплексных корней характеристического уравнения фильтра в структурной схеме рис.4 соответствует звено второго порядка с вещественными коэффициентами.

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид :


(4.16)


Корни характеристического уравнения для (4.16) обозначим:

(4.17)


Вспомогательное уравнение (4.1) будет иметь вид:


(4.18)


Основная переменная х связана с промежуточной переменной z соотношением:


(4.19)


Решение на шаге h уравнения (4.18) представим в виде


(4.20)

Здесь

- общее решение однородного уравнения

- частное решение неоднородного уравнения (4.18).

При комплексных корнях характеристического уравнения


(4.21)


Входную переменную представим в виде ряда Тейлора:


(4.22)


При этом частное решение будем искать в виде:


(4.23)


Подставив (4.23) и (4.22) в (4.18) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h до второго порядка включительно, найдем:


(4.24)


Подставив (4.21) и (4.23) в (4.20), получим:


(4.25)


Положим в (4.25) h=0


(4.26)


Уравнения (4.26) определяют коэффициенты А и В:

(4.27)

Представленные выше соотношения позволяют построить алгоритм вычисления на шаге.

1. Из предыдущих шагов вычислений известны z(t),, а также измеренная величина y(t).

2. По некоторому алгоритму вычисляются приближенные значения производных от входной величины

3. По уравнениям (4.24) вычисляются

4. По (4.27) вычисляются А и В.

5. По (4.25) вычисляются z(t+h) и

6. По (4.19) вычисляется x(t+h)

Используя соотношения (4.24) и (4.27), решение (4.25) на шаге h можно привести к следующему виду:


(4.28)

Здесь обозначено:











(4.29)


















Все величины (4.29) при заданном шаге h вычисляются точно и вне цикла численного решения. Соотношения (4.28) вместе с (4.19) дают алгоритм численного решения исходного уравнения второго порядка (4.16)

Погрешность решения на шаге возникает, как и для уравнения первого порядка, только от неучтенных членов в разложении (4.22) и приближенного вычисления производных от входной величины y(t), представленной дискретными отсчетами.





РАЗДЕЛ 5


СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДОВ


ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ


5.1 Точное решение на шаге.


Оценку погрешностей численных решений будем производить для уравнения первого порядка

(5.1)

Точное решение на шаге, в соответствии с (4.14), имеет вид:

(5.2)


В качестве входного воздействия примем экспоненту:

(5.3)

При входном воздействии (5.3) ряды (5.2) легко суммируется, и точное решение можно записать в нескольких формах:

(5.4)


В соответствии с (5.3), при t = kh


; (5.5)

Точное решение на шаге уравнения (5.1) для входного воздействия (5.3) получим из (5.4) с учетом (5.5):

(5.6)


5.2. Погрешности интерполяционного метода прямоугольников.


Операторная форма численного решения уравнения (5.1) имеет вид:


(D-a)x=Ry (5.7)

Для интерполяционного метода прямоугольников, в соответствии с (3.16),


D=(z-1)/hz.


Подставив это в (5.7), перейдем к приближенному разностному уравнению:


(5.8)


Из(5.6) и (5.8) сформируем локальную ошибку на шаге:


(5.9)


Используя разложения в ряды, вычислим коэффициенты ошибок и для интерполяционного метода прямоугольников:


(5.10)


5.3. Погрешности экстраполяционного метода прямоугольников.


Для данного метода, в соответствии с (3.18),

Подставив это в (5.5), получим приближенное разностное уравнение:


(5.11)


Точное разностное уравнение для входного воздействия (5.3) получим из (5.4) и (5.5):


(5.12)


Из (5.11) и(5.12) сформируем локальную ошибку:


Отсюда вычислим коэффициенты ошибок для экстраполяционного метода прямоугольников: (5.13)

5.4. Погрешности метода Тастина


Для метода Тастина, (3.20),


Из (5.5) с учетом (5.7), получим приближенное разностное уравнение:


(5.14)


Из (5.12) и (5.14) найдем локальную ошибку:



Отсюда вычислим коэффициенты ошибок для метода Тастина:

(5.15)


5.5. Ошибки полуаналитических методов.


Выражение (5.2) точного решения на шаге уравнения (5.1) позволяет сформировать приближенный алгоритм вычислений.

Удерживая в разложении (5.2) члены до включительно, можем записать:


(5.16)


Здесь и - приближенные значения производных от входного возмущения, вычисленные тем или иным способом по имеющимся отсчетам самого возмущения y(k).

Пусть

; (5.17)

Здесь и - погрешности определения производных.

Сформировав разность между приближенным (5.16) и точным (5.2) решениями с учетом ( 5.17 ) ,получим выражение для локальной погрешности:


(5.18)


Сравнивая это выражение с ошибками операторных методов, например с (5.9), можно видеть, что для полуаналитических методов коэффициент ошибки всегда равен нулю.


5.5.1. Вычисление производных.


Оценку погрешностей вычисления производных будем производить для экспоненциального входного возмущения (5.3) с учетом (5.5).

Точные значения производных и значения близлежайших отсчетов при этом будут:


(5.19)


Экстраполяционную оценку первой производной, не содержащую y(k+1), примем в виде:


(5.20)


Ошибку по производной получим из (5.19) и (5.20):


(5.21)


Интерполяционную оценку первой производной примем:


(5.22)


Ошибку по производной вычислим из (5.19) и (5.22):


(5.23)


Более точной интерполяционной оценкой производной является выражение:


(5.24)


Ошибка такой оценки, с учетом (5.19) и (5.24), имеет вид:


(5.25)


Экстраполяционную оценку второй производной можно сформировать следующим образом:


(5.26)


Используя (5.19) и (5.26), можно получить ее ошибку:


(5.27)


Интерполяционную оценку второй производной примем в виде:


(5.28)


Тогда, используя (5.19) и(5.28), получим ее ошибку:


(5.29)


Экстраполяционные соотношения (5.20) и(5.21), (5.26) и(5.27) менее точны, чем интерполяционные ,но не содержат y(k+1).

Из интерполяционных соотношений для (5.22), (5.23) и (5.24).(5.25) точнее последние, а для более точными являются (5.28) и (5.29).


5.5.2. Экстраполяционный полуаналитический метод.


Численное решение на шаге для экстраполяционного метода получим из (5.16),подставив туда значения производных из (5.20) и (5.26):


(5.30)


Дискретная передаточная функция, соответствующая разностному уравнению

(5.30), имеет вид;


(5.31)

Для оценки погрешности экстраполяционного полуаналитического метода при входном возмущении (5.3) в уравнение погрешности (5.18) подставим выражение (5.21) и (5.27), не содеожащие y(k+1). Перемножив отрезки рядов и собрав коэффициенты при степенях h , получим:

(5.32)


Сравнивая выражение (5.32) с ошибкой экстраполяционного метода прямоугольников (5.13) можно видеть, что полуаналитический метод точнее на порядок малости h.

Заметим также. что при ступенчатом входном возмущении, когда в (5.3) равна нулю, погрешность полуаналитического метода равна нулю. если можно пренебречь конечностью разрядной сетки ЦВМ.


5.5.3. Интерполяционный полуаналитический метод.


Численное решение на шаге для интерполяционного метода получим из (5.16), подставив в него значения производных (5.24) и (5.28):


(5.33)


Соответствующая (5.33) дискретная передаточная функция будет:


(5.34)

Подставив в уравнение погрешности (5.18) интнрполяционные выражения ошибок производных (5.25) и (5.29) и произведя необходимые выкладки, можем получить:


(5.35)


Сравнивая это с выражением (5.15) погрешностей для метода Тастина, можно видеть, что (5.35) точнее на порядок малости h , а при ступенчатом входном возмущении, при =0, ошибка равна нулю.








РАЗДЕЛ 6


РАБОТА ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ


Включение цифрового фильтра в систему управления непрерывным объектом производится по схеме, представленной на рис.7



y x

АЦП

ЦВМ

ЦАП

АЦП

апа







рис.7

Схема системы с цифровым фильтром.



y

h y(t0+h)


y*(t0)

t0


x 1 xср(t+h)

2 h/2 h/2



4

t


0 э

рис 8.



Временная диаграмма одного цикла вычислений.




В момент времени, обозначающий начало цикла, подается команда на АЦП на снятие очередного отсчета

На выходе ЦАП при этом установлено значение , вычисленное в предыдущем цикле.

В ЦВМ отсчет появится в момент, где -время срабатывания АЦП, после чего производятся вычисления очередного отсчета по x. На вычисление затрачивается время , и в момент времени

в ЦВМ образуется отсчет .

Команда на установку на ЦАП значения подается в момент времени

, где -специально вводимая задержка, которая может быть равной нулю.

В момент времени , где -время срабатывания ЦАП, на выходе последнего появляется значение .Начиная с момента ЦВМ готова к выполнению следующего цикла, который начинается в момент времени

Очевидным условием возможности работы ЦВМ в реальном времени является соотношение

, (6.1)

предъявляющее требования к быстродействию всех элементов.

Известно [5], что операция экстраполяции нулевого порядка сама по себе приводит к запаздыванию усредненного значения выходной величины относительно входной на величину

, (6.2)


что иллюстрируется графиком на рис.9.



x


x1

4


x2 h

t



рис.9

Запаздывание экстраполятора нулевого порядка


На рис.9 обозначено:


-непрерывная кривая на входе экстраполятора.

-ступенчатая кривая на выходе экстраполятора.

-непрерывная кривая, проведенная через середины отрезков интерполяции.

На рис.8 середина интервала экстраполяции обозначена моментом времени

Таким образом, ЦВМ и ЦАП создают запаздывание величины (to+h) относительно:

(6.3)

Влияние запаздывания (6.3) на динамику замкнутой системы зависит от алгоритма цифровой реализации фильтра.


6.1. Влияние запаздывания при интерполяционных алгоритмах.


В интерполяционных алгоритмах, как уже указывалось, для вычисления x(k+1) необходимо измерить y(k+1).Цикл, представленный на рис.8 начинается с момента времени =(k+1)h, поэтому y()=y(k+1).

В этот момент времени x(k+1) еще не вычислено, поэтому x()=x(k).

Величина (6.3) является чистым запаздыванием, вносимым в систему цифровым фильтром. В зависимости от быстродействия цифровых элементов чистое запаздывание , согласно (6.3),лежит в пределах:

(6.4)

Нижний предел (6.4) реализуется при бесконечном быстродействии цифровой части , т.е. при =0. В этом случае запаздывание определяется только экстраполятором. Верхний предел реализуется на границе условия (6.1), т.е. при

.


6.2. Влияние запаздывания при экстраполяционных алгоритмах.


В экстраполяционных алгоритмах для вычисления x(k+1) необходимо измерить y(k). В этом случае на рис.8

Вычисление величины x(k+1) начинается за шаг h до наступления момента времени , к которому относится отсчет x(k+1). Этот отсчет появляется в ЦВМ до наступления момента времени .

В этом случае чистым запаздыванием э является величина , а не , как в случае интерполяционных алгоритмов:

(6.5)

При достаточно высоком быстродействии цифровых элементов, когда

(6.6)

выбором величины задержки t можно обеспечить нулевое запаздывание, или даже отрицательное, что соответствует опережению величины xср(t0+h) относительно момента времени (t0+h).

В зависимости от быстродействия цифровых элементов запаздывание, с учетом (6.1), может лежать в пределах:

(6.7)


6.3. Цифровое моделирование замкнутой системы, не связанное с реальным временем.


В цифровой системе управления аналоговым объектом на выходе фильтра установлен ЦАП, являющийся экстраполятором нулевого порядка. Между моментами переключения ЦАП на вход аналогового объекта подается постоянная величина, что позволяет ,для линейного объекта, получить точное аналитическое решение внутри интервала h.

Из временной диаграмы рис.8 видно, что необходимо иметь аналитическое решение уравнения объекта на интервале времени, при входном воздействии на объект, равном , и решение на интервале при входном воздействии .

Аналитические выражения для решений на этих интервалах можно получить из раздела 4.1, где нужно положить

При наличии нулевых и кратных корней характеристического уравнения объекта аналитическое решение нужно получить применительно к рассматриваемому частному случаю.

Моделирование систем для нелинейных объектов требует применения общих программ и их пакетов для решения систем дифференциальных уравнений.

В этих случаях при решении уравнений объекта на интервале внутри шага h дискретизации фильтра применяются более мелкие шаги интегрирования.