Интеграл помогает доказать неравенство Коши (85193)

Посмотреть архив целиком

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a1 + a2 + ... + an

n

>

n

a1 a2 ... an

.


(1)


Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an .

(2)


Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an.

(3)


Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство


b


b – a

b

<

dt

t

= ln

b

a

<

b – a

a

,


a








(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a

b

= ln

b

a

=

b – a

a

.

Из (3) и (4)

Sn – a1

Sn

+

Sn – a2

Sn

+ ... +

Sn – ak

Sn

ln

Sn

a1

+ ln

Sn

a1

+ ... + ln

Sn

ak

,


(5)


или

kSn – (a1 + a2 + ... + ak)

Sn

ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

.


(6)


Опять-таки из (3) и (4)

ln

ak+1

Sn

+ ln

ak+2

Sn

+ ... + ln

an

Sn

ak+1 – Sn

Sn

+

ak+2 – Sn

Sn

+ ... +

an – Sn

Sn

,


(7)


или

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

(ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn

Sn

.


(8)


Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

.


(9)


Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

< ln

(Sn)k

a1 a2 ... ak

,


или

ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

<

(Sn)k

a1 a2 ... ak

,


откуда вытекает (2).

Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,

a1 + a2 + ... + an

n

=

n

a1 a2 ... an

.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.