Двойной интеграл в полярных координатах (85154)

Посмотреть архив целиком

Двойной интеграл в полярных координатах

  1. Пусть в двойном интеграле

  2. (1)

  3. при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos , y = r sin . (2)

  1. Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи)

  2. Введем обозначения:

  3. rj = rj+1 - rj,

  4. i = i+1 - i

  5. Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

  6. Si = rj i rj (3)

  7. Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

  8. В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos i, yij = rj sin i.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')


  1. Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

  2. интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

  3. (4)

  4. где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

  5. f(r cos, r sin)r,

  6. соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно

  7. (5)

  8. Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

  9. (6)

  10. Выражение

  11. dS = r d dr

  12. называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

  13. Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

  14. Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,].

  15. Имеем

  16. (8)

  17. Где

  18. F(r,) = rf(r cos, r sin)

  19. Пример 1.

  20. Переходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл

  21. Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

  22. Так как

  23. то применяя формулу (6),

  24. получим

  25. Область S определена

  26. Неравенствами

  27. Поэтому на основании формулы (8) имеем

  28. Пример 2.

  29. В интеграле

  30. (9)

  31. перейти к полярным координатам.

  32. Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1

  33. В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: =0, =/4, r cos=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами

  34. Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что

  35. имеем


Случайные файлы

Файл
152972.rtf
161486.rtf
72979.rtf
159758.rtf
16186-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.