Евклид и Лобачевский (85043)

Посмотреть архив целиком

Евклид и Лобачевский

(план урока по теме:Евклидова и неевклидова геометрия”)


Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвле­ний математики, получившим название „евклидова геометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его труду ..Начала". В шко­лах всего мира, долгие столетия геометрия преподава­лась по ..Началам" Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат к числу самых популярных и рас­пространенных математических трудов. Несмотря на столь огромную популярность Евклида как автора ..Начал", сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало. Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству Проклом (410—485), автором комментариев к „Началам", дея­тельность Евклида проходила во время правления Птолемея Сотера 1 (305—282 гг до н.э.).

При этом царе, столица Египта Александрия стала центром научной и культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена Александрийской школе работали тогда многие светила математики и сре­ди них Евклид, который был одним из первых ее препода­вателей. Дошедшие до нас произведения Евклида, свиде­тельствуют о том, что это был весьма способный и даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математи­ков и философов, достиг высот тогдашних научных зна­ний. Действительно, произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией: Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем практического порядка. Некоторый свет на Ев­клида как человека, математика и философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и прав­дивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение.

Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей 1, листая книгу ..Начал" обратился к автору с вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид ответил: В геометрии нет осо­бых дорог даже для царей". В другом анекдоте говорит­ся, чтр один из учеников Евклида, изучая геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал не­вольника и распорядился. „Дай ему обола, ибо этот чело­век ожидает прибыли от науки". Математик Папп (320 г. н. э.) восторгается необыкновенной честностью, скро­мностью, кротостью и одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма плодовитым автором различных тру­дов. Известно, что его перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются крупнейшим произведением в истории мате­матики. Это первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедукти­вный метод. ..Начала" носят характер учебника, в кото­ром Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким образом, Евклида труд­но считать самостоятельным автором содержания „На­чал", за небольшими исключениями, касающимися ко­нусных сечений и сферической геометрии. Но в „Нача­лах" Евклид проявил себя великолепным систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики. ..Начала" были написаны око­ло 300 года до н.э., но древнейшие, сохранившиеся руко­писи на греческом языке восходят всего лишь к Х ве нашего летосчисления. Со времен 1 века нашей эры хранилось только несколько отрывков папируса с ским текстом. Несмотря на отсутствие оригинг даря кропотливому труду ученых, сравнили внейшие, сохранившиеся рукописи, удалось с полной до­стоверностью восстановить первоначальный текст заме­чательного труда Евклида. Из тринадцати книг ..Начал" первая, вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на пло­скости, в одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой при­ведены основы стереометрии, остальные книги ..Начал" посвящены теории пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных тео­рем без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные постулатами и ввел необхо­димое число определений. Опираясь на этой сиСтеме ак­сиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 тео­рем распределенных в цепочку, очередные звенья кото­рой логически вытекают из предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая ,,Аксиома параллельно­сти" на целые века заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток приня­ли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.

Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..Площадь квадрата построенного на вы­соте прямоугольного треугольника опущенной из прямо­го угла на гипотенузу, равновелика площади прямоу­гольника со сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой" Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали свидетельствуют упоминания в трудах других математиков.

Историю древнегреческой математики можно подразде­лить на три периода: первый необыкновенно буйное, почти стихийное развитие, второй период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец, третий период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.

Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.

Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует факт, что „Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на протяже­нии свыше 2000 лет.

Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге “Начала” сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за другой, выводятся все основные теоремы гео­метрии. И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых рав­ноправно вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида непротиво­речива.

Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных, называемой также пятым постула­том. Кто сформулирует эту аксиому?

Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.

Ведущий. У Евклида в “На­чалах” несколько иная формулиров­ка, но суть та же. И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не опро­вергнешь, ведь на практике воспро­изводимы лишь отрезки прямых, но никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.

Ученик. Но если этот пятый постулат непроверяем физически, то, может быть, следовало исключить его из числа аксиом и доказывать как теорему, опираясь на остальные аксиомы?

Ведущий. Так оно и было. Ве­ками длились попытки придумать до­казательство — не удавалось никому. В тайну этих неудач именно и про­ник Н. И. Лобачевский глубоко и окончательно: пятый постулат недо­казуем и от -господствовавшего бо лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия есть единствен ная мыслимая система геометриче ского познания мира, необходимо от казаться.

1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида

И до этих вот снегов

Постулат, как черный идо

В жертву требует умов...

2-й ученик. “Постулат недоказуем!”

Даже страшно произнесть.

Ах, догматики! Грозу им

Принесет такая весть.

3-й ученик. На уроках гео­метрии учитель говорил нам, что Лобачевский создал “неевклидову геометрию”, в которой через точку можно провести более одной линии, не пересекающей данную прямую.

Ведущий. Верно. Лобачевский заменил евклидов пятый постулат более общей аксиомой параллель­ности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче было понять смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую АВ и -вне ее точ­ку С. Пусть САВ прямой.

Построим луч СD, пересекающий прямую АВ в точке D, лежащей вправо от точки А, и вообразим, что он вращается против часовой стрелки. По мере вращения луча СD непосредственное наблюдение пере­сечения его с АВ становится неосу­ществимым. По этой причине будет логически правомерным изменить на­ше представление о прямой линии и луче, которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч СD в ка­кой-то момент своего вращения “от­рывается” от прямой АВ, т. е. пере­стает иметь с ней общую точку.

Тогда “прямую” (аа'), содер­жащую луч, впервые “оторвавший­ся” от АВ, назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.

Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть “прямая” (ЬЬ'), симметричная “прямой” {аа') и про­ходящая через точку С (рис. 39). Ясно, что и эту “прямую” (ЬЬ') сле­дует считать параллельной АВ, но уже в направлении луча АВ'. Следо­вательно, через С проходят две “пря­мые”, параллельные прямой ВВ'.

С каждой из этих “прямых” луч СА, перпендикулярный прямой В'В, образует угол л(р), названный Лобачевским углом параллельности. Угол  (р) зависит от длины СА==р и имеет следующее свойство: все прямые, проходящие через С и об­разующие с перпендикуляром СА угол, меньший л (р), пересекают В'В, все остальные “прямые”, про­ходящие через С , не пересекают В'В, их называют расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В'В. Через С проходит бесконечное мно­жество таких “прямых”.


Случайные файлы

Файл
17130.rtf
123563.rtf
7483-1.rtf
111973.rtf
36973.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.