К экзамену (Теория)

Посмотреть архив целиком

16



Растяжение и сжатие

N = F

 — нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м2,

106Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм2

N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м2]

 — относительная деформация [безразмерная величина];

L — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].

закон Гука — = Е

Е — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 2105МПа = 2106 кг/см2 (в "старой" системе единиц).

(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

; закон Гука

EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина — а уменьшается на поперечную деформацию — а.

относительная поперечная деформация.

коэффициент Пуассона [безразмерная величина];

лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали 0,250,3.

Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:

Работа при растяжении: , потенциальная энергия:

Учет собственного веса стержня

Продольная сила N(z) = P + FL;

Р — сила, действующая на стержень, — удельный вес, F — площадь сечения.

Максимальное напряжение: . Деформация:

Условие прочности при растяжении (сжатии) max [],

[] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).

У чугуна [раст][сж], у стали и др. пластичных материалов [раст]=[сж].




О
сновные механические характеристики материалов


п— предел пропорциональности, тпредел текучести, Впредел прочности или временное сопротивление, к— напряжение в момент разрыва.

Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и не имеют площадки текучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

Допускаемое напряжение , 0— опасное напряжение, n — коэф. запаса прочности. Для пластичных материалов 0 = т и n = 1,5, хрупких 0 = В, n = 3.

Линейное напряженное состояние

напряжения по наклонной площадке:

полное :

нормальное: , касательное:

F — площадь наклонной площадки.

Нормальные напряжения положительны, если они растягивающие; касательные напряжения положительны, если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент (нижняя часть) по часовой стрелке ( на рис. все положительно). Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам перпендикулярным к оси стержня (=0, cos=1, max= )

На перпендикулярных площадках: = — (90 — )

; , т.е. = — .

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45о к оси стержня (=45о, sin2=1, max= /2)

Напряженное и деформированное состояние

Различают три вида напряженного состояния:

1) линейное напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;

2) плоское напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;

3) объемное напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут быть нормальные и касательные напряжения. При изменении положения "кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет касательных напряжений см. рис.

Площадки, по которым не действуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках — главными напряжениями.

Главные напряжения обозначают: 1, 2, 3 и 1> 2> 3


Плоское напряженное состояние

Разрежем элементарный параллелепипед (рис.а) наклонным сечением. Изображаем только одну плоскость. Рассматриваем элементарную треугольную призму (рис.б). Положение наклонной площадки определяется углом . Если поворот от оси x против час.стр. (см. рис.б), то >0.

Нормальные напряжения имеют индекс, соответствующий оси их направления. Касательные напряжения, обычно, имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке, второй — направлению самого напряжения (к сожалению, встречаются и другие обозначения, и другой выбор осей координат, что приводит к изменению знаков в некоторых формулах).

Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час.стр (для касательного напряжения в некоторых учебниках и вузах принято обратное).

Напряжения на наклонной площадке:

или

Закон парности касательных напряжений: если по площадке действует касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (xz= — zx)

В теории напряженного состояния различают две основные задачи.

Прямая задача. По известным главным напряжениям: 1= max, 2= min требуется определить для площадки, наклоненной под заданным углом () к главным площадкам, нормальные и касательные напряжения:

или .

Для перпендикулярной площадки:

.

Откуда видно, что +=1+2 — сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инварианта (независима) по отношению к наклону этих площадок.

Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения имеют место при =45о, т.е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом 45о .

Обратная задача. По известным нормальным и касательным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и min) напряжения и положение главных площадок.

(касательные напряжения по главным площадкам равны 0).

Угол 0, определяющий положение главных площадок: или .

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то их надо обозначать 1, 3, если оба отрицательны, то 2, 3.

Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси из центра С луч под углом 2 (>0, то против час.стр.), находим точку D,

координаты которой: ,. Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

Объемное напряженное состояние

Напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях 1, 2, 3:

;

,

где 1, 2, 3 — углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение: .

Оно действует по площадке параллельной главному напряжению 2 и наклоненной под углом 45о к главным напряжениям 1 и 3.

Круг Мора для объемного напряженного состояния.

Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют диагональным площадкам, наклоненным под 45о к главным напряжениям:

, (иногда называют главными касательными напряжениями).


Плоское напряженное состояние — частный случай объемного и тоже может быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует закон парности: составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.

Напряжения по октаэдрической площадке.

Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всем главным направлениям.