Матан Экзамен Часть 4 (27)

Посмотреть архив целиком

Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам c1, c2, c3 отрезка [a, b] (a < c1 < c2 < c3 < b) и правому концу b, и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как . Здесь d1, d2, d3 - произвольные точки, удовлетворяющие неравенствам a < c1 < d1 < c2 < d2 < c3 < d3 < b.

Пример:
21.

, и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница: - расходится, так как первообразная обращается в бесконечность в точке x = -1.

2) Такие уравнения имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X.

Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму , где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.


Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
ищем в виде , где - какое-нибудь его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного уравнения .

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

;

(29)

Пусть y1(x), y2(x) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

;

(30)

yоо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) - общее решение однородного уравнения (30). Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения (29) в том же виде y(x)=C1(x)y1(x) + C2 (x)y2(x), предполагая, что постоянные C1, C2 - не постоянные, а функции, зависящие от x: C1 = C1 (x), C2 = C2(x). Мы должны найти эти функции. Находим производную : .
Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции
y(x) мы ищем две функции C1 (x) и C2(x), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной не участвовали вторые производные функций C1 (x) и C2(x), в качестве этой связи положим

;

(31)

Тогда . Подставляем выражения для y(x) и её производных в уравнение (29):
Преобразуем:

Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции
y1(x), y2(x) - решения однородного уравнения (30), поэтому окончательно

;

(32)

Уравнения (31),(32) дают замкнутую систему для функций и :

(33)

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y1(x), y2(x) и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение , . Находя это решения и интегрируя выражения производных для и , получим C1 (x) и C2(x), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x).








Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.