Матан Экзамен Часть 4 (26)

Посмотреть архив целиком

Площадь поверхности вращения.

  • Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)
    (
    - длина окружности кольца, - его ширина).
    Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности вокруг оси Ox.
    Решение: .

  • Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): .

  • Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение , что:
    1. Любое решение этого соотношения относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) является частным решением уравнения ;
    2. Любое частное решение уравнения может быть получено из общего решения при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.
    Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

  • Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
    y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).
    Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений
    Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x). Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.
    Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.