Матан Экзамен Часть 2 (10 теорема о связи корней харак.ур с реш.)

Посмотреть архив целиком

Билет 10.

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Примеры: 17. - интеграл расходится;
18. - интеграл сходится.

Признаки сравнения для неотрицательных функций. Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.
12.2.2.1. Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и при x > a удовлетворяют неравенствам . Тогда:
если сходится интеграл , то сходится интеграл ;
если расходится интеграл , то расходится интеграл

2)Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

;

(34)

постоянны на рассматриваемом интервале (a, b) (ai = const при i = 1, 2, …, n). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (34) предположим, что решения этого уравнения имеют вид y = ekx. Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (34) и сокращая его на ekx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени

k n + a1k n -1 + a2k n -2 + ... + an -1 k + an = 0.

(35)

Уравнение (35) называется характеристическим уравнением уравнения (34). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k1, k2, …, kn, некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем:
Если
kj - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция в ФСР;
если
kj - действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. kj = kj +1 = kj +2 = …= kj + r - 1 ), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР;
если - простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь - мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с
kj число . Паре корней kj, kj+1 соответствуют функции , в ФСР;
если - комплексный корень характеристического уравнения кратности
r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число . Паре корней kj, kj+1, каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций , , , , , , …., , в ФСР.

теорема о связи между корнями характеристического уравнения и решениями олду






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.