Матан Экзамен Часть 2 (14!)

Посмотреть архив целиком

1) Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая AB. Разобьём эту кривую точками A = M0, M1, M2, …, Mi-1, Mi, …, Mn = B на n частей и впишем в кривую ломаную M0 M1 M2Mi-1 MiMn, соединяющую эти точки. Длина L лом этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения: . Устремим теперь количество n точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных L лом, не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой AB.
13.3.2. Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая AB - график функции кривой y = f(x), имеющей непрерывную производную , . Тогда точка M i имеет координаты (xi, f(xi)), звено Mi-1M i имеет длину . Функция y = f(x) на отрезке [xi-1xi] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что . С учётом этого длина звена Mi-1Mi равна , длина всей ломаной - . Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением y = f(x), , определяется формулой .
Пример: Найти длину отрезка параболы
y = x2 от точки A(0,0) до точки B(2,4).
Решение: , поэтому .
3.3.3. Кривая задана параметрически . Заменим в переменную x на переменную t. Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой .
Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.
Решение: кривая задаётся уравнениями .
13.3.4. Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол как параметр, получим , поэтому

2) Первые интегралы системы и понижение порядка системы. Интегрируемы комбинации. Симметричная форма записи. Примеры


Случайные файлы

Файл
136704.rtf
164298.rtf
69450.rtf
4102.rtf
PolkRus.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.