Матан Экзамен Часть 2 (13)

Посмотреть архив целиком

1) Функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b] Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [xi-1 , xi], ни от выбора точек .

Теорема 3.5   Пусть функция не ограничена на отрезке . Тогда эта функция не может быть интегрируемой на , то есть не существует предела интегральных сумм для функции при условии . Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.

        Доказательство.     Фиксируем любое разбиение с произвольным диаметром . Поскольку функция не ограничена на отрезке , то она не ограничена хотя бы на одном из отрезков разбиения . Предположим, что функция не ограничена на этом отрезке сверху (случай неограниченности снизу разбирается совершенно аналогично), и покажем, что тогда интегральную сумму, соответствующую этому разбиению, можно сделать как угодно большой лишь за счёт выбора точки разметки, лежащей на отрезке . Выберем точки разметки , лежащие на прочих отрезках разбиения, то есть при , и зафиксируем. Тогда эти фиксированные отрезки и точки разметки дадут некоторый фиксированный вклад в интегральную сумму, равный Поскольку на оставшемся отрезке деления с номером и фиксированной длиной функция неограничена сверху, то для любого, как угодно большого числа можно найти такую точку , что

достаточно взять такую точку , что значение функции в ней превышает . Следовательно, при любом, как угодно малом, значении диаметра размеченного разбиения , мы можем найти такое размеченное разбиение , что интегральная сумма , ему соответствующая, будет как угодно велика. Значит, величина не ограничена ни на каком окончании базы и поэтому не может иметь никакого предела при этой базе (как мы знаем, все величины, имеющие предел, локально ограничены при данной базе). Поскольку предела интегральных сумм нет, функция не интегрируема на отрезке , что и требовалось доказать.  

2) Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую производных, в функцию, имеющую k - n производных:

(23)

С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение (20) можно записать так:

Ln(y) = f(x);

(24)

однородное уравнение (21) примет вид

Ln(y) = 0)

Дифференциальный оператор Ln(y) является линейным оператором.

Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.
Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых Ln(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y1(x), y2(x) - частные решения (25), то функции Cy, y1(x) + y2(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим
если Ln(y) = 0, то Ln(Cy) = CLn(y) = 0;
если Ln(y1) = 0 и Ln(y2) = 0, то Ln(y1 + y2) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0.
Следствие. Если y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) - тоже частное решение этого уравнения.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y1(x), y2(x), …, yn(x) его n частных решений.


Случайные файлы

Файл
157595.rtf
117801.rtf
73475.rtf
25429-1.RTF
77052-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.