Матан Экзамен Часть 1 (3)

Посмотреть архив целиком

Билет 3.

Неопределённый интеграл и его свойства.

Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .
Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

    1. .

    2. (или ).

.

.

.

.

().

.

.

.

; .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

;

2.Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

;

(5)

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

;

(6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

;

(7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

;

(8)

удовлетворяющее начальному условию

y(x0) = y0;

(9)

  • (начальное условие (9) часто записывают в форме ).
    Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи.

Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку (t0, x0) (см. рис. 1).




Случайные файлы

Файл
53693.doc
28336.rtf
80406.doc
178580.rtf
ORGSTR.DOC




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.