Матан Экзамен Часть 1 (5)

Посмотреть архив целиком

Билет 5.

Свойства определённого интеграла.

  1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и
    .

    Док-во
    : для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.
    2. Аддитивность
    . Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то .
    Док-во
    . Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов xi: c = xi0, . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .
    Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например,
    c < b < a, и f(x) интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .
    При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что
    b > a.
    3. Теорема об интегрировании неравенств
    . Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то .
    Док-во
    . Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.
    4. Теоремы об оценке интеграла
    .
    5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то .
    Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.
    5.2.
    Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то .
    Док-во
    . .
    5. Теорема о среднем
    . Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что .
    Док-во
    . Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .
    Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [
    a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

  2. Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций.
    Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для .
    Если равенство для возможно только при , система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).
    Другими словами, функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется определитель

  • Теорема 14.5.4.4. Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).




Случайные файлы

Файл
136266.doc
168790.rtf
13750.rtf
ref-15336.doc
152261.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.